Math10.com

 

Вектори

2.1 Основни определения

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Понятията вектор и линейно (или векторно) пространство са фундаментални в линейната алгебра. Те са възникнали като обобщение на съответните понятия в класическата геометрия на равнината и пространството. При това в качеството на основни са приети операциите
(а) умножаване на вектор с число, и
(б) сума на два вектора.
Резултатът от тези операции отново е вектор от същия вид.

Множество от елементи, наречени вектори, за които резултатът от горните две операции е отново вектор от същото множество, се нарича линейно, или векторно пространство. При това се предполага, че са в сила някои допълнителни условия, свързващи умножението и сумирането на числа с операциите (а) и (б) (формални определения и примери са дадени в упражнения 2.1-2.3). За едно линейно векторно пространство се употребява и терминът линеал.

В категорията на линейните пространства попадат и обекти, които обикновено не се разглеждат в линейната алгебра, например множеството на всички числови функции, определени в даден интервал. В тази книга се интересуваме главно от вектори и операции в т.нар. крайномерни векторни пространства, които са и основният предмет на дисциплината „Линейна алгебра" (безкрайномерните пространства обикновено се разглеждат в анализа). Векторите в такива пространства се представят чрез наредени крайни съвкупности от числа (елементи на вектора), при което умножението на вектор с число и сумирането на два вектора се извършват поелементно. За удобство елементите на вектора се разполагат графично във вид на стълб или на ред.

Нека n N е зададено число. Да означим с Rⁿ множеството на стълбовете от вида
(2.1)      
където a_i R. Обектът а се нарича n-мерен реален вектор-стълб (или вектор-колона) с елементи (или компоненти) a_i. Аналогично се дефинират n-мерни комплексни вектор-стълбове, при които елементите a_i са комплексни числа.

Множеството Rⁿ се нарича n-мерно реално координатно пространство. Аналогично се определя n-мерното комплек-сно координатно пространство Cⁿ.

Наредената n-орка
b = [b₁, b₂,... , b_n],
където b_i са реални или комплексни числа, се нарича n-мерен вектор-ред.

Видът на вектора (стълб или ред) и броят на елементите му определят неговия размер. Така например два вектора имат еднакъв размер, ако и двата са стълбове (или и двата са редове) и имат еднакъв брой елементи. Казва се още, че векторът-стълб с n елемента има размер n х 1, а векторът-ред с n елемента има размер 1 х n.

Вектор, всичките елементи на който са равни на нула, се нарича нулев вектор и се бележи с 0. Ако е необходимо, нулевият n-мерен вектор-стълб се означава с 0ⁿ.

Пример 2.1 При n = 1 имаме R¹ = R, т.е., едномерните реални вектори са просто реалните числа. При n = 2 пространството R² е познатата ни равнина, а при n = 3 пространството R³ е тримерното пространство, в което живеем. При n > 3 говорим за многомерно пространство.

Векторите обикновено се означават с малки латински букви, а елементите им - със същата буква и долен индекс, показващ номера на елемента. За краткост при векторите ще използуваме и означенията а = [a_i], където i=1,...,n и даже а = [a_i] когато размерът на a e ясен от контекста или пък е без значение. Елементът x_i на вектора х се означава още и като (х)_i.

За мен   За реклама   Дарения    Детска енциклопедия