2.4 Афинно пространство

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Елементи на линейното пространство Fⁿ са n-мерните вектори стълбове с компоненти от F (вж. също упражнение 2.6). Те се характеризират със свойството, че сумата на два вектора и произведението на вектор с число от F отново са вектори от Fⁿ. Това характеристично свойство на едно линейно пространство L над полето K може да се формулира кратко като
λx + μy L          (2.8)
за всички x,у L и μ,λ K. Така описаните вектори са полезен инструмент при формулиране и изучаване на редица въпроси в математиката и нейните приложения.

Същевременно в редица задачи се налага изучаването на геометрични факти относно различни фигури (или подмножества) в някакво многомерно пространство и в частност на взаимното разположение на тези фигури. При това характеристичното свойство (2.8) на L (почти) не се използва. Така се стига до идеята за т.нар. афинно, или точково пространство. Точките, или елементите на афинното пространство по определен начин се свързват с векторите от едно линейно пространство, вж. например [7].

Нека е дадено едно множество S, чиито елементи ще наричаме точки и ще бележим с главни латински букви, например А,В,С. Нека освен това L е линейно пространство, чиито елементи ще наричаме вектори и ще означаваме с малки латински букви. Да предположим, че на всяка наредена двойка (А, В) S х S от точки А, В S е поставен в съответствие вектор x L, който ще означаваме като х = АВ. При този запис точката А е начало, а точката В - край на вектора АВ.

Множеството S, на което по указания по-горе начин е съпоставено линейното пространство L, се нарича афинно (или точково) пространство, ако са изпълнени следните две условия:
- за всяка точка А S и за всеки вектор х L съществува единствена точка В S, такава че АВ = х;
- ако АВ = х L и ВС = у L, то АС = х + у L.

Някои автори означават накратко с (S,L) афинното пространство S, свързано с линейното пространство L.

Лесно се вижда, че АА е нулевият вектор в L и АВ = -ВА.

Афинното пространство S е реално (комплексно) точно когато е реално (комплексно) свързаното с него линейно пространство L.

Съществува тясна връзка между линейните и афинните пространства, като те даже могат да се смятат за еквивалентни в смисъла на изложените по-долу факти.

Всяко линейно пространство L може да се разглежда като афинно пространство S, свързано с L. За целта можем да наречем векторите от L точки, като на всеки две точки а,Ь S = L, взети в указания ред, съпоставяме вектора b - а L.

Обратно, всяко афинно пространство S, свързано с линейното пространство L, самото може да се разглежда като линейно пространство. За целта фиксираме дадена точка О S, а на произволна точка А S съпоставяме т.нар. радиус-вектор ОА L. Множеството на всички радиус-вектори е въпросното линейно пространство, съвпадащо в случая с L.

Така пространството Fⁿ може да се интерпретира едновременно като линейно пространство, и като афинно пространство (свързано със себе си). За избягване на недоразумения обикновено се указва кой именно случай се разглежда. Когато Fⁿ се разглежда като афинно пространство е удобно в качеството на фиксирана точка О да се вземе 0_n = [0,..., 0]^T.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: