Math10.com

 

СОБСТВЕНА СТРУКТУРА НА МАТРИЦА

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

10.1 Определения

Нека А = [a_i,j] е реална или комплексна n х n матрица. Числото λ се нарича собствена стойност (или характеристично число) на матрицата А когато съществува ненулев n-вектор х, такъв че
Ах = λx.          (10.1)
В този случай векторът х се нарича десен собствен вектор (или накратко собствен вектор) на матрицата А, съответстващ на собствената стойност λ. Двойката (λ, х) се нарича собствена двойка на матрицата А. Множеството от всички собствени двойки се нарича собствена структура на матрицата А. Ще отбележим, че е възможно матрицата А да е реална, но собствената стойност λ и/или съответният собствен вектор x да са комплексни.
Като умножим двете страни на равенството (10.1) отляво с x^H получаме х^HАх = λ||x||², откъдето следва израз за собствената стойност чрез собствения вектор:
λ = xHAx/||x||²
Ще напомним, че тук
||x|| = √|x₁|² + ..... + |x_n|²
е евклидовата норма на вектора х.

Както ще видим след малко, собствените стойности на една матрица се определят еднозначно. Обаче собственият вектор, съответстващ на дадена собствена стойност, не е определен еднозначно. Така например когато х е собствен вектор, то и векторът ах, където а е ненулева константа, също е собствен вектор. Възможно е също една матрица да има няколко линейно независими собствени вектора, съответстващи на една и съща собствена стойност. Често се приема, че собствените вектори са нормирани в смисъл, че ||x|| = 1.

Пример 10.1 Да разгледаме единичната матрица I_n. Ако (А, x) е собствена двойка на I_n, то
I_nx = x = xI_n,
откъдето (1 — λ)x = 0. Тъй като х ≠ 0, то по необходимост λ = 1. Така единичната матрица има единствена собствена стойност, равна на 1, и всеки ненулев вектор е неин собствен вектор. В частност матрицата I_n има n на брой линейно неза-висими собствени вектори.

Ще напомним, че дори когато матрицата А е реална, някоя нейна собствена стойност λ може да е комплексна. В този случай съответният собствен вектор х също е комплексен. Изобщо, от всичките осем комбинации за А, λ и х в зависимост от това коя величина е реална и коя комплексна, не е възможна само комбинацията на реална матрица А, комплексна собствена стойност λ и реален собствен вектор х. Също така, ако А и λ са реални, то х е или реален, или чисто имагинерен вектор. Поради това ще се условим, че собственият вектор е реален когато и матрицата и съответната собствена стойност са реални.

Някои автори запазват термините собствена стойност и собствен вектор само за случая, когато А F^nxn и λ F, x Fⁿ. При тази терминология една реална матрица може да има само реални собствени стойности и спектърът на някои матрици, например се оказва празно. Впрочем, всички тези терминологични проблеми отпадат, ако се договорим да разглеждаме реалните матрици като комплексни мат-рици с нулева имагинерна част.

От горните определения следва, че ако (λ, х) е собствена двойка на матрицата А, то
(^λIn - А)х = 0.          (10.2)
Тъй като x ≠ 0, то необходимо е матрицата ^λIn - А да е особена. Действително, в противен случай уравнението (10.2) ще има единствено решение, което би трябвало да е х = 0, а ние знаем, че х ≠ 0. Следователно
χ_A(λ) := det(^λI_n - А) = 0.          (10.3)
Това уравнение се нарича характеристично уравнение на матрицата А. То е алгебрично уравнение от n-та степен и може да се запише във вида
λⁿ - c₁λ^n-1 + ..... + (-1)ⁿc_n = 0,
където с_k е сумата на главните минори от ред k на матрицата А. В частност

Полиномът χ_A се нарича характперистичен полином на матрицата А.

Пример 10.2 Характеристичният полином на матрицата I_n е (λ — 1)ⁿ, докато минималният полином на тази матрица е λ - 1.

Пример 10.3 Характеристичният полином на матрицата

е λⁿ и е равен на нейния минимален полином.
Кратността на собствената стойност λ на матрицата А като корен на нейния характеристичен полином се нарича алгебрична кратност на λ. Броят на линейно независимите собствени вектори, съответстващи на собствената стойност λ, се нарича геометрична кратност на λ.
Съгласно една важна теорема в алгебрата всяко алгебрично уравнение от n-та степен с реални или комплексни коефициенти има n корена (между тях може да има кратни). Следователно характеристичното уравнение (10.2) на матрицата A F^nxn има n корена λ₁,..., λ_n с отчитане на алгебричната им кратност. Наборът {λ₁,..., λ_n} се нарича спектър на матрицата A и се бележи със spect(A). Ако различните помежду си собствени стойности са λ₁,..., λ_m с алгебрични кратности k₁,..., k_m то спектърът на А се състои от k₁ на брой екземпляра λ₁, k₂ на брой екземпляра λ₂ и т.н. до k_m на брой екзем-пляра λ_m. Така например спектърът на единичната матрица I_n се състои от n екземпляра на числото 1. Впрочем, под спектър на матрица някои автори разбират само множеството от различни помежду си нейни собствени стойности.

Така характеристичният полином на матрицата А може да се запише във вида

Числото
rad(А) = maх{|λ| : λ spect(A)} ≥ 0
се нарича спектрален радиус на квадратната матрица А. Това е радиусът на най-малкия централен кръг в комплексната равнина, който съдържа собствените стойности на А.

Матриците А, В F^nxn се наричат подобни, ако съществува неособена матрица R F^nxn, такава че АR = RВ. Подобните матрици А и В = R^-1АR имат еднакви характеристични полиноми и в частност еднакви спектри. Действително, имаме
χ_B(λ) = det(λI_n - B) = det(R^-1(λI_n - A)R)
= det(R^-1)det(λI_n - A)det(R)
= det(λI_n - A) = χ_A(λ)
Обратното може и да не е вярно, т.е., две матрици с еднакви характеристични полиноми могат и да не са подобни. Действително, нека A F^nxn е ненулева горно триъгълна матрица с нулев диагонал, а В = 0_nxn. Тогава χ_A(λ) = χ_B(λ) = λⁿ. Но А не може да е подобна на 0_nxn, тъй като единствената подобна на нулевата матрица е тя самата.

Нека числото λ е собствена стойност на подобните матрици А и В =R^-1AR. Тогава, ако х и у са съответните собствени вектори на А и В, то можем да приемем, че х = Rу. Действително, нека Ах = λх и Ву = λу. Оттук получаваме R^-1ARу = λу и А(Rу) = λ(Rу). Следователно можем да изберем х = Rу.

Диагоналните матрици А = diag(λ₁,..., λ_n) притежават редица приятни свойства, например

• spect(А) = {λ₁,..., λ_n};

• ако е_k е k-тият стълб на единичната матрица I_n, то (λ_k, e_k) е собствена двойка на матрицата А;

• рангът на A е равен на броя на ненулевите числа λ_k;

• det(А) = λ₁,..., λ_n.

Следователно интерес представлява да се определи при какви условия една квадратна матрица може да се приведе в диагонална форма чрез преобразувания на подобие.

Матрицата А F^nxn се нарича диагонализируема (или матрица с проста структура) когато тя е подобна на диагонална матрица.

Необходимо и достатъчно условие за диагонализируемост на една матрица А F^nxn е тя да притежава система от n линейно независими собствени вектори. Действително, да предположим, че А има n линейно независими собствени вектори r₁,..., r_n Fⁿ. Тогава можем така да номерираме собствените стойности λ_i на А, че да е изпълнено Аr_i = λ_ir_i, i = 1,..., n (естествено, не е необходимо собствените стойности да са различни помежду си). Да образуваме неособената матрица R := [r₁,..., r_n] F^nxn. Имаме

където Л := diag(λ₁,..., λ_n).
Обратно, да предположим, че съществува неособена матрица
R = [r₁,..., r_n] F^nxn,
такава че матрицата Л := R^-1АR е диагонална, т.е., Л = diag(λ₁,..., λ_n). Тогава АR = RЛ, откъдето
[Аr₁,..., Аr_n] = [λ₁r₁,..., λ_nr_n]
и
Аr_i = λ_ir_i, i = 1,...,n.
Тъй като матрицата R е неособена, то нейните стълбове r_i формират система от n линейно независими вектори на матрицата А.

Горното доказателство не трябва да се схваща като практически алгоритъм за диагонализация на матрица. Действително, ключов момент тук е определянето на собствените стойности на матрицата, което на свой ред може да се окаже трудна изчислителна задача.

Достатъчно условие за диагонализируемост на матрицата А е нейните собствени стойности да са различни помежду си. По-долу ние ще докажем един по-общ резултат.

Нека λ₁, ...., λ_m са различни помежду си собствени стойности на матрицата A F^nxn (m ≤ n), на които съответст-ват собствените вектори r₁, ..., r_m Fⁿ. Тогава системата от вектори R := {r₁,..., r_m} е линейно независима. Действително, случаят m = 1 е тривиален. Нека следователно m > 1 и да допуснем, че системата R е линейно зависима. Тогава съществува нетривиална и равна на нула линейна комбинация с най-малък брой р ≤ m ненулеви коефициенти, например
α₁r₁,..., α_pr_p]          (10.4)
Очевиднор p > 1, тъй като в противен случай от α₁r₁ = 0 и α₁ ≠ 0 би следвало r₁ = 0, което е невъзможно. Като умножим двете страни на (10.4) с А получаваме втора линейна комбинация
α₁Ar₁ + .... + α_pAr_p = α₁λ₁r₁ + .... + α_pλ_pr_p = 0.          (10.5)
Умножаваме равенството (10.4) с λ_p и го изваждаме от (10.5), което дава
α₁(λ₁ - λ_p)r₁ + .... + α_p-1(λ_p-1 - λ_p)r_p = 0.
Тъй като коефициентите α₁,...,α_p-1 са различни от нула и λ_i ≠ λ_p, i = 1, ..... ,p — 1, то последната линейна комбинация е нетривиална и е с р — 1 на брой ненулеви коефициенти. Но това противоречи на предположението, че най-малкият брой на ненулевите коефициенти в равните на нула линейни комбинации на вектори от R е р. Полученото противоречие показва, че системата R е линейно независима.

Матриците А, В F^nxn се наричат едновременно диагонализируеми когато съществува неособена матрица R F^nxn, такава че матриците R^-1АR и R^-1BR са диагонални. Матриците А, В F^nxn комутират когато АВ = ВА.

Може да се покаже, че ако матриците А, В F^nxn са диагонализируеми, то те комутират точно когато те са едновременно диагонализируеми. Този резултат се обобщава за произволен брой матрици.

Дори когато произведенията АВ и ВА на две матрици А и В са определени, те в общия случай са различни. Независимо от това в сила е един забележителен факт, а именно, че ненулевите (а възможно и някои от нулевите) собствени стойности на матриците АВ и ВА съвпадат. По-точно, в сила е следният резултат.

Нека А F^mxn и В F^nxm където за определеност сме приели m ≤ n. Тогава матрицата ВА F^nxn има същите собствени стойности (с отчитане на алгебричните им кратности) като матрицата АВ F^mxm, плюс още n — m нулеви собствени стойности, т.е.,
χ_BA(λ) = λ^n-mχ_BA(λ).
В частност, ако m = n и една от матриците А или В е неособена, то матриците АВ и ВА са подобни.

Действително, матрицата

е неособена (det(R) = 1) и

(докажете!). Освен това непосредствено се проверява, че

Следователно матриците М и N от ред m + n са подобни. Но собствените стойности на М са тези на АВ заедно с n нули, а собствените стойности на N са тези на ВА заедно с m нули. Тъй като собствените стойности на М и N съвпадат, първото твърдение е доказано.

За да докажем второто нека за определеност матрицата А е неособена. Тогава
АВ = А(ВА)А^-1
т.е., матриците АВ и ВА са подобни.

Нека е дадена матрицата А F^nxn. Подпространството L Fⁿ се нарича инвариантно относно А (или накратко А-инвариантно), ако за всеки вектор х L е изпълнено Ax L, т.е., ако AL L, където
AL := {Ах : x L}.
Нека сега λ е собствена стойност на матрицата А F^nxn. Множеството
L(A, λ) := {Ах Cⁿ : Aх = λx} Cⁿ.
се нарича собствено подпространство на матрицата A асоциирано със собствената стойност λ. Така за всеки ненулев вектор х L(А,λ) двойката (λ, x) е собствена двойка на матрицата А.

От това определение следва, че
L(А,λ) =Кеr(λI_n - А).
Лесно се вижда, че всяко собствено подпространство на матрицата А е A-инвариантно (обратното може и да не е вярно).

Ясно е също, че размерността на L(А, λ) е равна на геометричната кратност на собствената стойност λ. Геометричната кратност на λ не надвишава съответната алгебрична кратност, но може да е по-малка. Ако за някое λ spect(A) геометричната кратност е по-малка от алгебричната, то матрицата А се нарича дефектна. Съответно когато за всяко λ spect(A) геометричната кратност на λ е равна на алгебричната, матрицата А е недефектна. Лесно се вижда, че матрицата А е диагонализируема точно когато тя е недефектна.

Когато всяка собствена стойност на А има единична геометрична кратност (независимо от алгебричната) матрицата А се нарича проста. Една матрица е едновременно проста и диагонализируема когато тя има различни помежду си собствени стойности.

10.2 Форма на Шур

Когато n х n матрицата А е комплексна, или когато тя е реална, но има комплексни собствени стойности, съществува унитарна n х n матрица U, такава че матрицата S := U^HАU е горна триъгълна. Матрицата S се нарича форма на Шур (или накратко Шур форма) на матрицата А. Стълбовете на унитарната матрица U образуват Шур база на пространството Fⁿ относно матрицата А. Диагоналните елементи s_i,i на S са собствените стойности на матрицата А.

Когато матрицата А е реална и има само реални собствени стойности, матрицата U може да се избере реална ортогонална. В този случай и Шур формата S на А също е реална.

Когато матрицата А е реална, но някои (или всички) от собствените й стойности са комплексни, може да се построи т.нар. реална Шур форма S^R = V^TАV на А. Тук матрицата V е реална ортогонална, а матрицата S^R е реална блочно триъгълна с 1 х 1 или 2 x 2 блокове по диагонала. Блоковете с размер 2 x 2 отговарят на двойките комплексно спрегнати собствени стойности на А. Съвременните методи за пресмятане на собствената структура на матрица се основават на привеждането й във форма на Шур, вж. също глава 13.

10.3 Форма на Жордан

Нека са дадени матриците А, В F^nxn. Един важен въпрос е да се установи дали тези матрици са подобни, т.е., дали съществува матрица R GL(n,F), такава че АR = RB. Отговор на този въпрос се дава от т.нар. жорданова канонична форма на квадратна матрица.

Жорданов блок от ред 1 от първи тип J₁(λ) със собствена стойност λ F е самото число λ,
J₁(λ) =λ F.

Жорданов блок от ред m > 1 от първи тип J_m(λ) със собствена стойност λ F е матрицата

са равни на 1 в позиции (i, i + 1), i = 1,..., m — 1, и на нула в останалите позиции. Матрицата N_m е нилпотентна като N^m_m = 0.

Жордановият блок от първи тип е комплексна матрица при λ C\R и реална матрица при λ R.

Жорданов блок от ред 2 от втори тип К₂(α,β) с комплексни собствени стойности λ = α + iβ С, λ с черта = α - iβ C, където числата α и β ≠ 0 са реални, е матрицата

Жорданов блок от ред 2m > 2 от втори тип К_2m(α, β) с комплексни собствени стойности λ = α + iβ С, λ с черта = α - iβ C, където числата α и β ≠ 0 са реални, е матрицата
К_2m(α,β) = I_m ⊗ K₂(&lapha;,β) + N_m ⊗ I₂0

Жорданова матрица е всяка блок-диагонална матрица с жорданови блокове по диагонала.

Блоковете на една блочно диагонална матрица могат да се разместват по диагонала с помощта на пермутационни преобpазувания на подобие. Нека например
J = diag(J₁, J₂) F^{n x n}, J₁ F^mxm, J_m F^{(n - m)x(n - m)}.
Тогава
Р^TJР = diag(J₂,J₁),
където

Поради горния факт се приема, че две жорданови матрици са неразличими (или еквивалентни) когато те се отличават само по подредбата на диагоналните си блокове.

Жорданова матрица, която съдържа само блокове от първи тип, може да се дефинира и като двудиагонална матрица, която има само единици и/или нули по наддиагонала си.

Един фундаментален факт в спектралната теория на матриците е, че всяка матрица е подобна на жорданова матрица.

Нека А F^nxn. Неособената матрица U F^nxn, такава че U^-1AU е жорданова матрица, се нарича модална матрица на матрицата А. Когато матрицата А има пълен набор (т.е., n на брой) собствени вектори, те формират модална матрица.

Модалната матрица не е еднозначно определена. Така например, ако матрицата А с пълен набор собствени вектори има модална матрица U, то тя има и модални матрици D₁U и UD₂, където D₁,D₂ са произволни диагонални неособени матрици. Дори ако поискаме стълбовете на U да имат единична дължина, то наред с U модална матрица ще бъде и матрицата UD, където D е диагонална унитарна матрица.

Нека е дадена комплексната матрица А F^nxn която има m различни помежду си собствени стойности λ₁,..., λ_m с алгебрични кратности k₁,..., k_m. Нека собствената стойност λ_i участва в р_i ≥ 1 жорданови блока от първи тип с размери съответно k_i,1 ≤ .... ≤ k_i,pi. Тогава имаме
k_i,1 + .... + k_i,pi i = 1,..., m.
В частност, геометричната кратност на собствената стойност λ_i p_i. Вижда се също, че минималният полином на матрицата А в този случай е

Числата m, p₁,... ,p_m и к_i,j, i = 1,... ,m, j = 1,... ,p_i, се наричат аритметични инварианти на матрицата А относно действието на подобие
A → U^-1AU, U GL(n,С) на общата линейна група GL(n,C). Алгебричните инварианти относно това действие са собствените стойности λ₁,..., λ_m на матрицата.

В зависимост от вида на матрицата А F^nxn (комплексна или реална) и на нейния спектър spect(A) (съдържащ или не комплексни елементи) са възможни следните случаи.

1. Матрицата е комплексна или реална и има (поне една) комплексна собствена стойност. Тогава тя има комплексна жорданова форма с блокове от първи тип, като модалната матрица може и да е реална.

2. Матрицата е комплексна или реална, но има само реални собствени стойности. Тогава тя има реална жорданова форма с блокове от първи тип, като модалната матрица може и да е реална.

3. Матрицата е реална, но има (поне две) комплексни собствени стойности. Тогава тя има реална жорданова форма с блокове от втори тип, като модалната матрица в този случай е реална.

10.4 Квазижорданова форма

Жордановата форма е елегантно математическо средство за описание на действието на подобие на групата на неособените матрици в множеството на квадратните матрици. Тя обаче има някои особености, които я правят неудобна от практическа гледна точка и особено при извършване на пресмятания в крайна аритметика. Работата е там, че жордановата форма J на матрицата А може да е силно чуствителна или даже прекъсната като функция на А.

Модалната матрица U (или нейната обратна матрица U^-1), такава че U^-1АU = J, също може да е прекъсната като функция на А. Нещо повече, дори когато е непрекъсната, модалната матрица (или нейната обратна) може да е много чуствителна като функция на А. В частност възможно е малки изменения в А да доведат до големи изменения в U или U^-1. Също така числото на обусловеност
соnd(U): ||U|| ||U^-1||
на матрицата на модалната матрица U може да е много голямо и това да доведе до големи грешки от закръгляне при извършване на пресмятанията в машинна аритметика.

Тези явления са илюстрирани в следващите примери за матрици А = А(&еpsilon;) с размер 2 x 2, зависещи от реалния параметър ε ≥ 0. Във всички случаи модалната матрица U = [u₁, u₂] е избрана или с единични стълбове (||u₁||₂ = ||u₂||₁ = 1), или, когато това не е възможно, с единичен първи стълб (||u₁||₂ = 1). Когато матрицата А е жорданова, за определеност е прието U = I₂.

Пример 10.4 Нека е дадена матрицата

зависеща от реалния параметър ε ≥ 0. При ε > 0 жордановата форма на А(ε) е

а модалната матрица U(ε) и нейната обратна матрица U^-1(ε) са

За числата на обусловеност на модалната матрица в спектралната норма и нормата на Фробениус имаме съответно

Вижда се, че обратната на модалната матрица не е ограничена при &еpsilon; → 0, като числото на обусловеност на модалната матрица има поведението на 1/√.

Да видим сега какво става при ε = 0. Тук матрицата А(0) е в жорданова форма,

Така имаме
lim_{ε → 0} = 0_2х2 ≠ J(0)
и следователно матричната функция ε → J(&еpsilon;) е прекъсната в точката ε = 0.

Модалната матрица U(ε) е ограничена, непрекъсната при ε > 0 и с прекъсване от първи род при ε = 0, като

Обратната матрица U^-1(&еpsilon;) е неограничена при ε → 0, непрекъсната при ε > 0 и с прекъсване от втори род при ε = 0.

Пример 10.5 Матриците

са квазижорданови (отличава се от жордановата по това, че при блоковете на първи (съответно втори) тип по наддиагонала (съответно по наднаддиагонала) ненулевите елементи са произволни положителни елементи). В съответните жорданови матрици елементите 0.001 и π, π щяха да са равни на 1.

За разлика от жордановата форма J на матрицата А , която е определена с точност до подреждането на блоковете по диагонала на J, квазижордановата форма не е определена еднозначно при матриците, които нямат пълен набор собствени вектори.

Пример 10.6 Матрицата

има жорданова форма J = U^-1AU и модална матрица както следва:

Същевременно А има безбройно много квазижорданови форми, параметризирани чрез параметъра ω

Този пример показва и това, че при една комплексна матрица с комплексен спектър, която не е в жорданова форма, модалната матрица може да е реална.

Квазижордановите форми и съответните им (квази) модал-ни матрици не са толкова чуствителни към смущения.

Пример 10.7 Матрицата А(&еpsilon;) от пример 10.6 се привежда в квазижорданова форма

за всяко &еpsilon; ≥ 0. В този случай квазижордановата форма J^≈ и (квази) модалната матрица U (независеща от &еpsilon;) са непрекъснати функции за разлика от жордановата матрица и модалната матрица.

Пример 10.8 Матрицата

има жорданова форма
и J(0) = diag(λ, λ) при ω = 0. Модалната матрица с минимално число на обусловеност е
U(ω) = diag(1,1/ω), ω ≠ 0
и U(0) = I₂. Имаме
U^-1(ω) = diag(1,ω), ω ≠ 0
и U^-1(0) = I₂. Следвателно
соnd₂(A(ω)) = max{ω, 1/ω}, соnd_F(A(ω)) = ω + 1/ω, ω ≠ 0
и
соnd₂(А(0)) = 1, соnd_F(A(0)) = 2.

Виждаме, че жордановата форма J(ω) е прекъсната в точката ω = 0, а числата на обусловеност на модалната матрица са неограничени при ω → 0 и ω → ∞. Същевременно квазижордановата форма е непрекъсната (самата матрица А(ω) е в квазижорданова форма), а (квази) модалната матрица винаги е I₂ и е отлично обусловена.

10.5 Обобщена собствена структура

Едно обобщение на понятието собствена структура на матрица е както следва. Нека са дадени матриците А и В с еднакъв размер над полето F. Семейството
{λВ - А : λ С},
където λ е параметър, се нарича матричен сноп. Така матричният сноп може да се разглежда като права в съответното линейно пространство от матрици, минаваща през матрицата — А и с направляваща матрица В. Когато това не води до недоразумения, матричният сноп се означава и като λВ — А.

Матричният сноп е квадратен когато участващите в него матрици са квадратни. По-нататък ще разглеждаме само квадратни снопове.

Матричният сноп е регулярен когато съществува λ₀ С, такова че матрицата λ₀В — А е обратима. С други думи снопът не е регулярен точно когато е изпълнено тъждеството
det(λB - А) = 0.
Ако В = I полиномът det(λВ — А) е характеристичният полином на матрицата А и неговите корени са собствените стойности на А.

Нека А, В F^nxn. Задачата за намиране на число λ и на ненулев вектор х, такива че
Ах = λВх,
се нарича обобщена задача за собствена структура. Съответно числото λ се нарича обобщена собствена стойност, а векторът х - обобщен собствен вектор.

Обобщените собствени стойности са корените на обобщеното характеристично уравнение
det(λB - А) = 0,
което е алгебрично уравнение от степен r := rank(В) ≤ n.

Матричните снопове λВ — А и λD — С се наричат еквивалентни, ако съществуват неособени n х n матрици U и V, такива че
С = UAV, D = UВV.
Тези снопове са унитарно (съответно ортогонално) еквивалентни, ако матриците U и V са унитарни (съответно ортогонални). Еквивалентните снопове имат еднакви обобщени собствени стойности.

Когато матрицата В е неособена можем да запишем
В^-1Ах = λх
и следователно в този случай обобщената собствена структура е собствената структура на матрицата В^-1А. В частност съществуват n на брой обобщени собствени стойности λ₁,..., λ_n (с отчитане на алгебричната им кратност). При този подход матрицата В^-1 не се формира, а матрицата X := В^-1А се пресмята с помощта на n линейни алгебрични уравснения
Bx_•j = а_•j
за стълбовете х_•j на X, където а_•j са стълбовете на А.

Впрочем, дори когато матрицата В е неособена, пресмятането на обобщената собствена структура на снопа чрез собствената структура на матрицата В^-1А на практика се избягва поради опасността на внасяне на неприсъщи на първоначалната задача грешки от закръгляне.

Така стандартната и обобщената задачи за собствена структура имат някои общи свойства, но са възможни и съществени различия.

Първо, възможно е да имаме сингулярен сноп, при който е изпълнено тъждеството (10.6). Тогава всяко число λ може да се разглежда като обобщена собствена стойност.

Второ, ако снопът е регулярен, но матрицата В е особена от ранг r, полиномът det(λВ — А) е от степен r < n. В този случай се приема, че освен корените на det(λB - A) = 0, които са r на брой с отчитане на алгебричната им кратност, обобщената задача има и n — r безкрайни собствени стойности. Действително, да запишем обобщената задача като
Вх = Ах/λ
и нека 0 ≠ х Кеr(B), т.е., Вх = 0. Имаме Ах ≠ 0, тъй като в противен случай щеше да е изпълнено Ах = Вх = 0 и снопът би бил сингулярен. Тогава
0 = Ах/λ
и следва да приемем 1/λ = 0, откъдето λ = ∞. С помощта на неособени преобразувания
А → UАV, В → UВV
матричният сноп може да се приведе в т.нар. канонична форма на Кронекер, която е обобщение на каноничната форма на Жордан. От каноничната форма на Кронекер непосредствено се получава и обобщената собствена структура. Тази форма, обаче, рядко се използва за практически пресмятания поради високата си чуствителност спрямо изменения в данните А, В.

Чрез унитарни преобразувания
А → С = [c_i,j] = UАV, В → D = [d_i,j] = UВV
където U, V U(n), матриците А и В могат да се приведат едновременно в горна триъгълна форма, наречена обобщена форма на Шур. Тази форма се пресмята с помощта на т.нар. QZ алгоритъм на Молър и Стюърт, предложен през 1973 г. При това обобщената задача за собствени стойности се свежда до

Оттук получаваме системата от уравнения
d_i,iλ = c_i,i, i = 1, ..... ,n,
където поради регулярността на снопа са изпълнени неравенствата
|d_i,i| + |c_i,i| > 0, i = 1,...,n.
Следователно обобщените собствени стойности се определят от

Често се използва и следната симетрична формулировка на обобщената задача за собствени стойности. Търсят се числа λ и μ, които не са равни едновременно на нула, както и ненулев вектор х, такива че
μАх = λВх.
Тук опитът да наречем съответната двойка (λ, μ) ≠ (0,0) обобщена собствена стойност се натъква на проблема за неединственост. Действително, за всяко k ≠ 0 двойката (kλ, kμ) също би била обобщена собствена стойност. Поради това понятието обобщена собствена стойност на двойката матрици (А, В) се дефинира като множеството на всички (кλ,kμ), когато k пробягва множеството F\{0}.

Връзката на тази симетрична формулировка (при която се уеднаквяват ролите на матриците А и В) с първоначалната формулировка на обобщената задача за собствени стойности е както следва. Крайната собствена стойност λ при първоначалната формулировка отговаря на двойката (λ, 1) при симетричната формулировка, а безкрайната собствена стойност - на двойката (1,0).

При симетричната формулировка говорим за двойка матрици вместо за матричен сноп. Така например двойката А, В F^nxn е сингулярна когато равенството det(μА — λВ) = 0 е изпълнено за всички λ, μ F. В противен случай двойката е регулярна. С други думи двойката е регулярна точно когато съществуват числа λ₀, μ₀ F, такива че det(μ₀А — λ₀В) ≠ 0. Очевидно има смисъл да разглеждаме обобщената задача за собствени стойности само за регулярни двойки защото при сингулярните матрични двойки всяко множество (kλ, kμ) (когато k пробягва F) е обобщена собствена стойност. В този случай ненулевият вектор се нарича обобщен десен собствен вектор (или само обобщен собствен вектор) на двойката (А,В).

Ненулевият вектор у, удовлетворяващ уравнението
μу^HА = λу^HВ,
се нарича обобщен ляв собствен вектор на двойката (А,В).

10.6 Чуствителност и числени аспекти

Да разгледаме първо задачата за намиране на собствената структура на матрицата А F^nxn. Когато матрицата А има само прости (различни помежду си) собствени стойности
λ_i = λ_i(А)≠ λ_j = λ_j(А), i ≠ j,
то съществуват n линейно независими десни х₁,... ,х_n Cⁿ и леви у₁,..., у_n Cⁿ собствени вектори на А, като
x^H_iy_j = y^H_jх_i = 0, j ≠ i.
Тук собствените вектори х_i, у_i съответстват на собствената стойност λ_i.

Ще приемем също, че собствените вектори са нормирани,
||х_i||₂ = ||y_i||₂ = 1, i = 1, ..... ,n.

Нека δА е смущение в матрицата А и нека λ_i +δλ_i, х_i + δx_i и y_i + δy_i са съответно собствените стойности, десните собствени вектори и левите собствени вектори на смутената матрица А + δА. Тук собствените вектори на смутената матрица могат и да не са нормирани.

Анализът на чуствителността на собствената структура на матрицата А се състои в намиране на оценки за смущенията
|δλ_i|, ||δx_i||₂, ||y_i||₂, i = 1,...,n,
като функция на смущението
α := ||δА||₂.

От зависимостите
(А + δА)(х_i + δх_i) = (λ_i + δλ_i)(х_i + δх_i), i = 1,...,n,
следва
(А - λ_iI_i)δx_i + δA(х_i + δх_i) = δλ_i(х_i + δх_i), i = 1,...,n. (a)
Като умножим отляво всяко от равенствата (a) с у^H_i получаваме
y^H(А - λ_iI_i)δx_i + δA(х_i + δх_i) = δλ_iy^H_i(х_i + δх_i), i = 1,...,n. (b)
Аналогично, умножаването отляво с у^H_i при j ≠ i дава
y^H_i(А - λ_iI_i)δx_i + δA(х_i + δх_i) = δλ_iy^H_i(х_i + δх_i), i = 1,...,n. (c)
Bекторите х₁,..., х_n са линейно независими и следователно всяко от смущенията δx_i може да се представи като линейна комбинация
δx_i = t_i,1x₁ + .... + t_i,nx_n (d)
Умножаваме (d) отляво с у^H_j при отчитане и получаваме
y^H_jδx_i = t_i,jy^H_ix_i (e)
Аналогично, след умножаване на (d) с А получаваме
Аδx_i = t_i,1Аx₁ + .... + t_i,nAx_n = t_i,1λ₁x₁ + .... + t_i,nλ_nx_n.
След още едно умножение отляво на това равенство с у^H_j стигаме до
y^H_jАδх_i = t_i,jλ_jy^H_jх_j (f)

Ако означим
γ_i = < x_i,y_i > = y^H_ix_i (g)
и заместим (e), (f) в (b), (c), получаваме
γ_i(1 + t_i,i)δλ_i = y^H_iδA(x_i + δx_i), i = 1,...,n (h)
и
t_i,jγ_j(λ_i - λ_j + δλ_i) = y^H_iδA(x_i + δx_i), j ≠ i. (i)

Така за всяко фиксирано i имаме системата (h), (i) от n уравнения за n + 1 неизвестни
δλ_i, t_i,1,.... , t_i,n.
За определеност ще изберем t_i, = 0. В резултат получаваме
(j)
където
δλ_i = y^H_iδA(x_i + δx_i)/γ_i (k)

В първо приближение приемаме, че числото α = ||δА||₂ е малко и в (i), (k) пренебрегваме членовете от втори и по-висок ред относно α. В резултат получаваме
|δλ_i ≤ <С_λi||δA||₂ (l)
и
(m)
Тук
С_λi := 1/|γ_i| = 1/|y^H_ix_i| (n)
е т.нар. абсолютно спектрално число на обусловеност на собствената стойност λ_i.

Въз основа на (m) имаме още
(o)
Неравенствата (l) и (o) са известните асимптотични оценки от първи ред за чуствителността на собствената структура на матрица с прост спектър. Недостатък на тези оценки е обстоятелството, че пренебрегнатите членове, макар и малки от втори ред относно ||δА||₂, могат да се окажат от порядъка на линейните членове за конкретни задачи.

Една нелокална нелинейна оценка на чуствителността на собствената структура на матрица с прост спектър се получава както следва (вж. напр. [9]).

За фиксирано 1 ≤ i ≤ n да разгледаме уравнението
ξ = φ_i(ξ, α), α := ||δА||₂, (p)
където

Съществува α_i > 0, такова че за някое ξ⁰_i е изпълнено
ξ⁰_i = φ_i(ξ⁰_i,α_i)
и
1 = φ'_i,ξ(ξ⁰_i,α_i)
При 0 < α < α_i уравнението (p) има два положителни корена ξ_i,1, ξ_i,2, а при α = α_i - един двоен положителен корен ξ⁰_i. Да предположим, че α < α_i, и нека
ξ_i,1 = ρ_i(α)
е по-малкият положителен корен на уравнението. Тогава са в сила нелинейните нелокални пертурбационни оценки
||δx_i|| ≤ ρ_i(α), (q)
|δλ_i| ≤ С_λi(1 + ρ_i(α)), α ≤ α_i.

Недостатък на оценките (q) е фактът, че величината ρ_i(α) се получава като решение на сложното дробно-линейно уравнение (p) (по отношение на търсения корен въпросното уравнение е еквивалентно на алгебрично уравнение от n-та степен). С цената на известно влошаване на оценките задачата може да се реши като дясната страна на уравнението (p) се мажорира от израза

където

Да разгледаме уравнението
ξ = ψ_i(ξ, α)
То има положителен корен

където
β_i(α) := ω_i - α(С_i + γ_i),
когато

Оттук получаваме оценките
||δx_i|| ≤ ρ_i(α) с черта, (r)
|δλ_i| ≤ С&sub>λ_i(1 + ρ_i(α) с черта), α ≤ α_i с черта.

Нека сега предположим, че матрицата А F^nxn е диагонализируема, т.е., че съществува неособена матрица X F^nxn, такава че матрицата Х^-1АХ е диагонална. Тук, за разлика от предходния случай, матрицата А може да има и кратни собствени стойности. Нека δА е произволно смущение в А. Тогава за всяка собствена стойност λ(A + δА) на А + δА съществува собствена стойност λ(А) на А, такава че
|λ(А + δА) - λ(А)| ≤ соnd₂(Х)||δА||₂,
където
соnd₂(х) := ||X||₂||X^-1||₂.

Когато матрицата А е нормална (А^HА = АА^H) и в частност комплексна ермитова (А^H = А) или реална симетрична (А^T = А), то X може да се избере като унитарна матрица, при което ||Х||₂ = ||Х^-1||₂ = 1, соnd₂(Х) = 1 и
|λ(А + δА) - λ(А)| ≤ ||δА||₂.
Забележително тук е, че матрицата δА може и да не е нормална, а нейната норма може да е прозволно голяма.

Ако и двете матрици А и δА са нормални, то техните собствени стойности могат да се номерират така, че
|δλ_i| = |λ_i(А + δА) - λ_i(А)| ≤ ||δА||₂, i = 1,..., n
и
Това неравенство е известно като теорема на Хофман и Виланд.

Когато матрицата А има жорданов блок с размер р > 1 и собствена стойност λ, то смутената матрица А + δА може да има собствена стойност λ + δλ, където
|δλ| = С||δА||^1/p₂.
Така спектърът на матрица с кратни собствени стойности може да е извънредно чуствителен спрямо изменение в данните. Да разгледаме пресмятането на собствените стойности на матрица АеРхп чрез привеждане в Шур форма с помощта на (^К алгоритъма. Оказва се, че пресметната по този начин Шур форма е точна за леко смутена матрица А + 8А, където

Тъй като ||δА||₂ ≤ ||δА||_F, то получаваме, че в първо приближение простата собствена стойност λ на А се пресмята като λ с черта с абсолютна грешка
|λ с черта - λ| ≤ 2n²С_λ||A||_Fерs.

Когато собствената стойност λ е p-кратна, в изчислената собствена стойност λ с черта могат да се очакват грешки до порядъка на
|λ с черта - λ| ≤ C(2n²||A||_Fерs)^1/p.

Аналогични оценки са в сила при пресмятане на обобщените собствени стойности на двойка матрици чрез привеждането им в обобщена форма на Шур чрез QZ алгоритъма.

10.7 Упражнения

Упражнение 10.1 Покажете, че матрицата А е особена точно когато 0 spect(A).

Упражнение 10.2 Нека β е полином с коефициенти от F, а матрицата A F^nxn има собствена двойка (λ,x). Покажете, че матрицата β(А) има собствена двойка (β(λ), х). В частност, за всяко к N матрицата А^k има собствена стойност λ^k.

Упражнение 10.3 Нека неособената матрица А има собствена стойност λ. Покажете, че матрицата А^-1 има собствена стойност 1/λ.

Упражнение 10.4 Нека сумата от елементите на всеки ред на квадратната матрица А е равна на едно и също число λ. Покажете, че матрицата А има собствена стойност λ. Упътване: разгледайте вектора [1,..., 1]^T като кандидат за собствен вектор на А.

Упражнение 10.5 Квадратната матрица А се нарича:
•          идемпотентна, ако А² = А;
•          нилпотентна, ако съществува к N, такова че А^k = 0.

Покажете, че спектърът на всяка идемпотентна матрица съдържа само числата 0 и/или 1, а спектърът на всяка нилпотентна матрица съдържа само числото 0.

Упражнение 10.6 Намерете спектъра на n х n матрицата, всички елементи на която са равни на 1.

Упражнение 10.7 Като използвате резултата от упражнение 10.6 намерете спектъра на n х n матрицата, на която диагоналните елементи са равни на а, а извъндиагоналните - на b.

Упражнение 10.8 Нека са дадени квадратните матрици А, В, такива че
Кеr(А) ∩ Кеr(B) ≠ 0.
От какъв тип е матричният сноп λВ — А?

За мен   За реклама   Дарения    Детска енциклопедия