Глава 14

ПРОИЗВЕДЕНИЕ НА КРОНЕКЕР

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

14.1 Уводни бележки

В тази глава са представени сведения за кронекеровото (или тензорното) произведение на матрици. Това произведение е много полезен инструмент при решаване на линейни матрични уравнения и на други задачи на линейната алгебра.

По-долу често се срещат стандартни произведения и суми на две или повече матрици. Във всички такива случаи без допълнителни уговорки се предполага, че размерите на участващите матрици позволяват коректно изпълнение на съответните операции.

14.2 Определения и свойства

Нека са дадени матриците А = [a_i,j] F^mxn и B F^pxq.

Матрицата

се нарича кронекерово произведение (или тензорно произведение) на матриците А и В (Л. Кронекер, немски математик, 1823-1891).

Кронекеровото произведение А ⊗ В е m х n блочна матрица, чиито (i,j)-блок е p х q матрицата а_i,jB. В горното представяне А може на свой ред да е блочна матрица като определението остава в сила когато a_i,j са произволни m_i х n_j матрици.

Ще отбележим, че тук не се налагат никакви ограничения върху размерите на матриците А и В с оглед на това матрицата А ⊗ В да е коректно определена.

Обикновено стандартното матрично умножение, кронекеровото умножение и стандартното матрично сумиране се считат за матрични операции с намаляващ приоритет. Така например изразът
Е = ((АВ) ⊗ С) + D
се записва без скоби като
Е = АВ ⊗ С + D.
Независимо от това, за да избегнем недоразумения ще приемем, че умноженията имат еднакъв приоритет като алгебрични операции. Това в частност означава, че горният израз се записва като
Е = (АВ) ⊗ С + D.

Някои важни приложения на кронекеровото произведение при решаване на матрични уравнения се основават на стълбовото векторно представяне на произведението АХВ, а именно
vec(АХВ) = (В^T ⊗ А)vec(Х). (1)
В частност имаме
vec(АХ) = (I_n ⊗ A)vec(Х),
vec(ХВ) = (B^T ⊗ I_m)vec(Х).

Оттук като следствие получаваме
||АХ||_F = ||vec(АХ)||₂ = ||(I_n ⊗ А)vec(Х)||₂ ≤ ||I_n ⊗ А||₂||vec(Х)||₂ = ||А||₂||X||_F.
Тук беше използвано равенството
I_n ⊗ А = diag(А,...,А),
от което следва
||I_n ⊗ A||₂ = ||А||₂.

Аналогично имаме
||ХВ||_F = ||B^TХ^T||_F ≤ ||B||₂||Х||_F
и
||АХВ||_F ≤ ||А||₂||ХB||_F ≤ ||A||₂||С||₂||Х||_F.
Обобщението (1) от 13 раздел на този резултат за произведение на произволен брой матрици е непосредствено.

Ако матрицата X е с размер m х n, то
vec(Х^T) = П(m,n)vec(Х),
където П(m,n) R^{mn x mn} е пермутационна матрица, наречена векпермутационна матрица. Тя притежава свойството
П^T(m,n) = П(n,m). (2)

Матриците A ⊗ B и B ⊗ A имат еднакъв размер mp х nq. Това не е в сила за стандартното матрично произведение, където някое от произведенията АВ или ВА може да не е дефинирано, или пък и двете произведения могат да са дефинирани, но да имат различни размери.

В общия случай кронекеровото произведение не е комутативно, т.е., възможно е
А ⊗ В ≠ В ⊗ А.
Освен това
А ≠ I ⊗ А, А ≠ А ⊗ I
с изключение на случая, когато I е числото 1.

Кронекеровото произведение е асоциативно и дистрибутивно относно стандартното сумиране:
(А ⊗ В) ⊗ С = А ⊗ (В ⊗ С) = А ⊗ В ⊗ С, (3)
(А + В) ⊗ С = А ⊗ С + В ⊗ С, С ⊗ (А + В) = С ⊗ А + С ⊗ В.

Една фундаментална зависимост между стандартното матрично произведение и кронекеровото произведение е
(А ⊗ В)(С ⊗ D) = (АС) ⊗ (ВD). (4)
Освен това имаме
(А ⊗ В)^Т = А^Т ⊗ B^T, (5)
(A ⊗ B)^H = A^H ⊗ B^H,

Когато матриците А и В са квадратни и неособени, то и тяхното кронекерово произведение А ⊗ В е квадратна неособена матрица, като
(А ⊗ В)^-1 = А^-1 ⊗ В^-1. (6)

Пример 14.1 Нека матриците А и В са неособени, като А = [а_i,j] е с размер 2 x 2. Тогава

Транспонирането и обръщането на кронекеровото произведение не променя реда на множителите за разлика от стандартното произведение, при кое?то имаме (АВ)^Т = В^TА^T и (АВ)^-1 = В^-1А^-1. За променим реда на множителите в едно кронекерово произведение можем да използваме формулата
(А ⊗ В)П(n,q) = П(m,n)(В ⊗ А), (7)
или
А ⊗ В = П(m,n)(В ⊗ А)П(q,n).

Като използваме (7) можем да получим израз, подобен на (1), за векторното редово представяне на произведението АХВ. Да означим с
row(Х) = [х_1•, x_2•, .....,х_m•] F^{1 x mn}
редовата векторизация на m х n матрицата X с редове X_i• F^{1 x n}. Имаме
row(Х) = vec^T(Х^T) = vec^T(Х)П(n,m).
Като вземем редова векторизация от двете страни на равенството У := АХВ получаваме следния редови аналог на знаменитата формула (1):
row(АХВ) = row(Х)(А^T ⊗ В). (8)

Сингулярните стойности на матрицата А ⊗ B са произведенията σ_i(A)σ_k(В), където σ_i(А) и σ_k(В) са сингулярните стойности на A и В съответно. Действително, нека А = U_AS_AV^H_A и В = U_BS_BV^H_B са декомпозициите по сингулярни стойности на матриците А и В. Тогава
А ⊗ В = (U_А ⊗ U_B)(S_A ⊗ S_B)(V^H_A ⊗ V^H_B)
е декомпозицията по сингулярни стойности на кронекеровото произведение А ⊗ В (с точност до евентуално пренареждане на диагонала на матрицата S_A ⊗ S_B). Тъй като матриците S_А и S_B са диагонални с диагонални елементи σ_i(А) и σ_k(В) съответно, то диагоналните елементи на матрицата S_A ⊗ S_B са всевъзможните произведения σ_i(А)σ_k(В).

Аналогично, ако А F^{m x m} и В F^{n x n}, то собствените стойности на кронекеровото произведение А ⊗ В са всевъзможните произведения λ_i(А)λ_k(В), където λ_i(А) и λ_k(В) са собствените стойности на А и В съответно. Действително, нека A = W_АТ_АW^H_A е Шур декомпозициятa на А. Тогава
А ⊗ В = (W_А ⊗ I_n)(Т_А ⊗ B)(W^H_A ⊗ I_n)
и следователно собствените стойности на А ⊗ В са тези на Т_А ⊗ В. Но Т_А ⊗ В блочна горно триъгълна матрица с диагонални блокове λ_i(А)В. Всеки от тези блокове има спектър λ_i(А)spect(В). Обединението на тези спектри (с отчитане на алгебричните кратности на елементите на спектрите) е множеството на всевъзможните произведения λ_i(А)λ_k(В).

Нека сега А C^{m x m} и В С^{n х n}. Кронекерова сума на матриците В и А е матрицата
В ⊕ А := В ⊕ I_m + I_n ⊕ А C^{mn x mn}.
Ще отбележим, че кронекеровото сумиране не е комутативно, т.е., възможно е
В ⊕ А ≠ А ⊕ В.

Собствените стойности на матрицата В ⊕ А са всевъзможните суми λ_i(А) + λ_k(В). Действително, нека В = W_BТ_BW^H_B е Шур декомпозицията на В. Тогава матрицата В ⊕ А е подобна на матрицата (U^H_B ⊗ I_m)(B ⊕ А)(U_B ⊗ I_M) = Т_B ⊗ I_m + I_n ⊗ А = Т_B ⊕ А.
Матрицата Т_B ⊕ А e n х n блочна горно триъгълна с m х m диагонални блокове А + λ_k(В)I_m. Спектърът на всеки такъв блок е обединение на spect(A) с едноелементното множество {λ_k(В)}. Така целият спектър на T_B ⊕ А и следователно на B ⊕ А, е обединение от спектрите на диагоналните блокове.

Горните резултати водят до задачата да се намери прост и удобен израз за спектъра на матрицата
М := А ⊗ В + С ⊗ D,
където матриците А и С са с размер m х m, а В и D са с размер n x n. Това се оказва възможно само ако се предположи една специална структура на горните четири матрици. Да предположим например, че матриците А и С имат обща Шур база U, т.е., че съществува матрица U, такава че матриците Т_A := U^HAU и Т_C := U^HСU са едновременно горно триъгълни. Тогава матрицата М е подобна на
= (U^H ⊗ I_n)М(U ⊗ I_n) = Т_А ⊗ В + Т_C ⊗ D.
Матрицата е m х m блочна горно триъгълна с n х n диагонални блокове λ_i(А)В + λ_k(С)D. Следователно спектърът на , равен на спектъра на М, е обединение (с повторения) от наборите
spect(λ_i(А)В + λ_k(С)D)).

Тези резултати намират приложение при изследване на спектъра на линейните матрични оператори.

Пример 14.2 Нека А С^{m x m} и В С^{n x n}. Да разгледаме операторите L_с и L_d в непрекъснатото и дискретното уравнения на Силвестър
L_c(Х) :=АХ + ХВ = С
и
L_d(Х) := АХВ -Х = С,
съответно, където X е неизвестната m х n матрица. Спектърът на един линеен матричен оператор е спектърът на неговото матрично представяне. Следователно спектърът
spect(L_c) = spect(I_n ⊗ А + В^Т ⊗ I_m)
е множеството на всевъзможните суми λ_i(А) + λ_j(В) от собствените стойности на А и В. Аналогично, спектърът
spect(L_d) = spect(В^Т ⊗ А — I_mn)
е множеството на всевъзможните изрази λ_i(А)λ_j(В) — 1.

14.3 Упражнения

Упражнение 14.1 Докажете равенството (1).

Упражнение 14.2 Намерете необходими и достатъчни условия за да бъде в сила комутативната зависимост А ⊗ В = В ⊗ А, където А и В са с размер 2 x 2.
Упътване: трябва да намерите 6 нетривиални зависимости между елементите на А и В.

Упражнение 14.3 Намерете необходими и достатъчни условия за да е изпълнено равенството А ⊗ В = В ⊗ А, в което А и В са n х n матрици.
Упътване: трябва да намерите n²(n² — 1)/2 нетривиални зависимости между елементите на А и В.

Упражнение 14.4 Докажете зависимостите (4) - (8).

Упражнение 14.5 Адамарово произведение С = А о В на матриците А = [a_i,j] и В = [b_i,j] с еднакви размери е матрицата С = [с_i,j] с елементи с_i,j = a_i,jb_i,j. Симетрично произведение А • В на квадратните матрици А и В с еднакви размери е матрицата (АВ + ВА)/2. Намерете зависимости между стандартното произведение, кронекеровото произведение, адамаровото произведение и симетричното произведение на две матрици. Проверете дали симетричното произведение е асоциативно (т.е., дали (А • В) • С = А • (В • С)) и дистрибутивно относно стандартното сумиране (т.е., дали (А + В) • С = А • С + В • С).

Упражнение 14.6 Нека А C^{m x m}, В С^{n x n}, С С^{n х m}, x С^l и нека f е аналитична матрична функция (вж. глава 15). Докажете, че
det(В ⊗ А) = (det(B))^m(det(A))ⁿ,
tr(В ⊗ А) = tr(В)tr(А),
exp(А ⊕ В) = ехр(A) ⊗ ехр(B),
f(I_n ⊗ А) = I_n ⊗ f(А),
f(А ⊗ I_n) = f(А) ⊗ I_n,
С ⊗ х = (I_n ⊗ х)С,
С ⊗ х^Т = С(I_m ⊗ x^T).

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: