Подпространства

5.1 Основни определения и свойства

Нека V е линейно пространство над полето F. За простота читателят може да си мисли, че това Rⁿ даже R² или R³. Непразното подмножество L V се нарича подпространство на V, ако то самото е линейно пространство над F, т.е., ако за всички x, y L и λ, μ F e изпълнено
λx + μy L.

Множеството {0_V}, което съдържа само нулевия вектор 0_V V, очевидно е подпространство на V. То се означава съкратено като 0. Това е най-малкото подпространство на V, тъй като L за всяко подпространство L V.

На свой ред самото V е подпространство на себе си. Това е и най-голямото подпространство на V. Тези две подпространства на V се наричат тривиални. Нетривиалните подпространства на V (ако има такива) се наричат още същински подпространства.

Не всички пространства имат същински подпространства. Нека например ν V (векторът ν може и да е нулев). Тогава множеството на всички вектори αν, когато α пробягва F, е пространство, на което всички подпространства са тривиални.

Нека L, М V са подпространства. Сечение L ∩ M на L и М е множеството на всички вектори, които принадлежат както на L, така и на М,
L ∩ М := {х : х L, х М}.
Така L ∩ М е стандартното теоретико-множествено сечение на множествата Ь ж М. Аналогично се дефинира сечение на произволен брой подпространства.

Сечението L ∩ М на подпространствата L и М също е подпространство. Действително, нека х,у L ∩ М и λ, μ F. Тогава x,у L и х,у М. Следователно λx + μу L и λx + μу М, което означава, че λx + μу L ∩ М.

За разлика от сечението, обединението на две подпространства може да не е (и обикновено не е) подпространство. За подпространства, обаче, може да се дефинира операция сумиране така, че полученото в резултат на сумирането множество да е отново подпространство.

Сума L + М на подпространствата L, М V на линейното пространство V над полето F е множеството на всички вектори от вида x + у когато x пробягва L, а у пробягва М:
L + М := {х + у: х L, у М}.

Сумата на две подпространства също е подпространство. Действително, нека x, y L + M и λ, μ F. Тогава векторите х и у могат да се представят във вида
x = x_L + x_M, y = y_L + y_M,
където
х_L,у_L L, х_M,y_M М.
От друга страна имаме
λx + μу = ξ + η, където
ξ = λх_L + μу_L L, η = λx_M + μу_M М.
Следователно λx + μу L + М, което трябваше и да покажем.

Когато L ∩ М = 0 подпространствата L и М се наричат дизюнктивни. В този случай сумата на L и М се нарича пряка и се означава с L ⊕ М.

Подпространствата L, М Fⁿ се наричат ортогонални, ако за всички x L и у М e изпълнено = 0, т.е., ако всеки вектор от L е ортогонален на всеки вектор от М. Ще напомним, че тук = у*х е скаларното произведение на векторите x = [x_i] и у = [y_i]

В реалния случай F = R имаме
= у^Tх = х₁у₁ + ...... + х_nу_n.
Сечението на две ортогонални подпространства е нулевото подпространство.

За всяко подпространство L Fⁿ може да се определи ортогоналното допълнение L Fⁿ. Това е подпространството, ортогонално на L и такова, че L ⊕ L = Fⁿ. Може да се покаже, че L е множеството на векторите у Fⁿ, такива че = 0 за всяко х L.

Лесно се вижда, че
(Fⁿ) = 0, 0 = Fⁿ
и въобще
(L) = L.

Нека x₀ е фиксиран вектор и L е дадено подпространство на линейното пространство V. Множеството
х₀ + L := {х₀ + х : х L}
се нарича линейно многообразие (или хиперравнина) в V с направляващо подпространство L. Така линейното многообразие x₀ + L представлява „отместване" на съответното направляващо подпространство L на вектор x₀. Тук транслационният вектор x₀ не е еднозначно определен. Действително, ако x₁ L, то имаме x₀ + L = (x₀ + x₁) + L.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: