Ортогонални и унитарни матрици

7.1 Определения и общи свойства

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

В матричната теория и особено в приложенията на матриците в инженерната и научна практика важна роля играят реалните ортогонални и комплексните унитарни матрици.

Матрицата А F^{n x n} се нарича ортогонална, ако
А^ТА = I_n.
Оттук следва, че ортогоналната матрица е обратима, като
А^-1 = А^T.
Така обръщането на една ортогонална матрица, което в общия случай може да е трудна изчислителна задача, се свежда до транспониране на матрицата. Очевидно тази операция винаги се изпълнява точно.
Лесно се показва, че дефиниционното равенство за ортогоналната матрица А може да се запише и като АА^Т = I_n.

Имаме също така
det(А^TА) = det(I_n) = 1,
откъдето det²(А) = 1 и
det(А) = ± 1.
Важно е да се отбележи, че в горното определение е в сила както за реални, така и за комплексни матрици.

Нека А, В са ортогонални n х n матрици. Тогава
(АВ)^ТАВ = В^ТА^ТАВ = В^ТВ = I_n,
т.е., произведението на две (а следователно и на всякакъв брой) ортогонални матрици е също ортогонална матрица. Също така от определението за ортогоналност се вижда, че обратната на една ортогонална матрица също е ортогонална. Така ортогоналните n х n матрици над полето F образуват мултипликативна матрична група, която се означава с O(n,F).

В практиката намират приложение главно реалните ортогонални матрици, т.е., елементите на O(n,R). Нека a_i Rⁿ са стълбовете на матрицата A O(n,R). Лесно се вижда, че (i,j) - тият елемент (А^TА)_i,j на матрицата А^TА е а^T_iа_i. От определението за ортогоналност следва, че a^T_i = 0 при i ≠ j и a^T_ia_i = ||а_i||² = 1. Така стълбовете на една реална ортогонална матрица са взаимно ортогонални и с единична дължина. Оттук впрочем идва и названието на този вид матрици.

Умножаването на реален вектор х с реална ортогонална матрица А не променя евклидовата му дължина. Действително, имаме
||Ах||₂ = √х^TА^TАх = √х^Tх = ||x||₂.

За нормите на реалните ортогонални матрици А O(n,R) е в сила
||A||₂ = 1, ||А||_F = √n.

Групата O(n,R) е компактно многообразие в пространството R^{n x n}. Елементите на една матрица А O(n,R), които са n² на брой, удовлетворяват n(n + 1)/2 нетривиални полиномиални зависимости. Това са n(n — 1) условия за ортогоналност а^T_•iа_•j = 0, i ≠ j, на стълбовете а_•i на А и n условия ||а_•1|| = ..... = ||а_•n|| = 1 за нормировка на тези стълбове. Следователно O(n,R) е n² — n(n + 1)/2 = n(n — 1)/2 - мерно реално многообразие.

Сега ще разгледаме един друг вид квадратни матрици, които в общия случай са комплексни и в известен смисъл са близки по някои от свойствата си до реалните ортогонални матрици.
Матрицата A F^{n x n} се нарича унитарна, ако
А^HА = I_n.
Ще напомним, че с А^H = А^T с черта означаваме ермитово спрегнатата матрица на матрицата А. Когато матрицата А е комплексна тя може да се представи във вида А = А₀ + iА₁, където матриците А₀, А₁ са реални и i = √-1. В този случай
А^H = А^T₀ - iА^T₁.
В частност когато матрицата А е реална имаме А^H = А^T. От условията за унитарност на А F^{n x n} следва, че
А^T₀А₀ + А^T₁1А₁ = I_n
и
А^Т₀А₁ = А^Т₁А₀.

Реалните унитарни матрици са просто разгледаните вече реални ортогонални матрици. Поради това ще предполагаме, че разглежданите по-долу унитарни матрици са комплексни, макар че съответните резултати са верни и когато те са реални.

Унитарната матрица А е обратима, като
А^-1 = А^H.
Така обръщането на една унитарна матрица (което за обща матрица може да е деликатна изчислителна задача) се свежда до нейното транспониране и комплексно спрягане. Дефиниционното равенство за унитарната матрица А може да се запише и като АА^H = I_n.

Имаме също така
det(А^HА) = det(I_n) = 1,
откъдето det(А^H)det(А) = 1, det(А с черта)det(А) = 1 и
|det(А)| = 1.
Така детерминантата на една унитарна матрица А лежи върху единичния кръг в комплексната равнина,
det(А) = cosφ + isinφ, φ [0,2π).

Нека А, В са унитарни n х n матрици. Тогава
(АВ)^HАВ = В^HА^HАВ = В^HВ = I_n,
т.е., произведението на две (а следователно и на всякакъв брой) унитарни матрици е също унитарна матрица. Също така от определението за унитарност е ясно, че обратната на една унитарна матрица също е унитарна. Така унитарните n х n матрици над полето С образуват матрична група, която се означава с U(n).

Нека a_i Cⁿ са стълбовете на матрицата А U(n). Лесно се вижда, че (i,j) - тият елемент (А^HА)_i,j на матрицата А^HА е а^H_iа_j. Следователно а^H_iа_j = 0 при i ≠ j и а^H_iа_j = ||a_i||² = 1. Така стълбовете на една унитарна матрица са взаимно ортогонални и с единична дължина.

Умножаването на вектор x с унитарна матрица А не променя евклидовата му дължина. Действително, имаме
||Ах||₂ = √x^HA^HAx = √x^Hx = ||x||₂.

За нормите на унитарните матрици А U(n) е в сила
||A||₂ = 1, ||A||_F = √n.

Една норма ||•|| в R^{m x n} се нарича ортогонално инвариантна, ако за всеки две ортогонални матрици U O(m,R) и V O(n,R) е изпълнено
||UАV|| = ||А||.

Аналогично, нормата ||•|| в С^{m x n} се нарича унитарно инвариантна, ако за всеки две унитарни матрици U U(m) и V U(n) е изпълнено ||UAV|| = ||А||.

Може да се покаже, че спектралната операторна норма ||•||₂ и матричната норма на Фробениус ||•||_F са ортогонално (съответно унитарно) инвариантни.

Описаното инвариантно свойство е особено важно в числената линейна алгебра, където изчислителните алгоритми се разработват с оглед на изпълнението им в машинна аритметика и в частност в крайна аритметика с плаваща точка. С малки изключения надеждните и устойчиви изчислителни алгоритми на съвременната числена линейна алгебра се основават само на ортогонални (съответно унитарни) трансформации, които запазват ортогонално инвариантните норми на преобразуваните вектори и матрици.

Допълнителни сведения за ортогоналните и унитарните матрици са дадени в глава 13.

Групата U(n) е компактно многообразие в пространството С^{n x n}. Елементите на една матрица А U(n), които са n² на брой комплексни числа, зависят от 2n² на брой реални параметри (реалните и имагинерните части на елементите). Тези параметри удовлетворяват n² реални уравнения както следва. Първо имаме n(n — 1)/2 комплексни нетривиални полиномиални зависимости, а именно условия за ортогоналност а^H_•iа_•j = 0, i ≠ j, на стълбовете а_•i на А. Това дава n(n — 1) реални уравнения. След това имаме n реални уравнения ||а_•1|| = ...... = ||а_•n|| = 1 за нормировка. Общо реалните уравнения са n(n — 1) + n = n². Следователно U(n) е (изоморфно на) 2n² — n² = n² - мерно реално многообразие.

7.2 Упражнения

Упражнение 7.1 Опишете множеството на всички реални ортогонални 2 x 2 матрици с детерминанта, равна на 1.

Упражнение 7.2 Опишете множеството на всички реални ортогонални 2 x 2 матрици с детерминанта, равна на — 1.

Упражнение 7.3 Опишете множеството на всички комплексни унитарни 2 x 2 матрици.

Упражнение 7.4 Покажете, че множеството на комплексните ортогонални матрици е неограничено.

Упражнение 7.5 Опишете множеството на всички реални диагонални ортогонални n х n матрици.

Упражнение 7.6 Опишете множеството на всички комплексни диагонални унитарни n х n матрици.

Упражнение 7.7 Покажете, че
O(n,R) =U(n) ∩ R^{n х n}.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: