НОРМАЛНИ МАТРИЦИ

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

11.1 Определения и основни свойства

Матрицата А F^nxn се нарича нормална когато
А*А = АА*.
Ще припомним, че тук А* = А^H когато матрицата А е комплексна и А* = А^T когато тя е реална. Тъй като ермитовото спрягане при реалните матрици е еквивалентно на транспониране, условието за нормалност може да се запише и като А^HА = АА^H. В частност, матрицата А R^nxn е нормална когато
А^ТА = АА^Т.

Ако матрицата A F^nxn е нормална и U F^nxn е произволна унитарна матрица (U^HU = I_N), то и матрицата S = U^HAU също е нормална. Действително, имаме
S^HS = (U^HA^HU)(U^HAU) = U^HAHAU
и
SS^H = (U^HAU)(U^HA^HU) = U^HAA^HU
т.е., S^HS = SS^H.

Ще покажем, че матрицата А F^nxn е нормална точно когато нейната Шур форма е диагонална, т.е., когато съществува унитарна матрица U F^nxn, такава че
S = U^HAU = diag(λ₁,...,λ_n),
където λ₁,...,λ_n са собствените стойности на матрицата А.

Нека сега предположим, че матрицата А е нормална. Ще покажем, че в този случай нейната Шур форма S = U^HAU е диагонална. Вече показахме, че матрицата S трябва също да е нормална. Да представим S във вида

където a F^n-1. Имаме

и

От сравняване на елементите в позиция (1,1) на двете матрици S^HS и SS^H (които следва да са равни) получаваме а = 0, т.е., матрицата S има вида diag(λ₁,S₁). Но и тогава и матрицата S F^{(n - 1)x(n - 1)} също следва да е нормална и да има вида S₁ = diag(λ₂,S₂), където S₂ F^{(n - 2)x(n - 2)}. По индукция получаваме
S = diag(λ₁, λ₂,..., λ_n),
което трябваше и да покажем.

11.2 Някои нормални матрици

Някои важни класове нормални n х n матрици са както следва.

• Комплексните унитарни матрици, определени от
А^HА = In.
Ако означим А = А₀ + iА₁, където матриците А₀ и А₁ са реални, то имаме
A^T₀A₀ + A^T₁A₁ = I, А^T₀А₁ = A^T₁A₀.
Следователно тук матрицата

е ортогонална.

• Реалните ортогонални матрици, определени от
А^TА = I_n
(една комплексна ортогонална матрица може и да не е нормална!).

• Комплексните ермитови матрици, определени от
А^H = А.
Когато А = А₀ + iA₁ имаме
А^T₀ = А₀, А^T₁ = -А₁.

• Реалните симетрични матрици, определени от
А^T = А.
Реалните симетрични матрици могат да се разглеждат като ермитови матрици с нулева имагинерна част.

• Комплексните антиермитови матрици, определени от
А^H = -А.
Когато А = А₀ + iА₁, то
А^T₀ = -А₀, А^T₁ = А₁.
В частност матрицата А е антиермитова точно когато матрицата iА е ермитова.

• Реалните антисиметрични матрици, определени от
А^T = -А.
Реалните антисиметрични матрици могат да се интерпретират като антиермитови матрици с нулева имагинерна част.

Да разгледаме сега какво следва от факта, че всяка нормална матрица A F^nxn има диагонална Шур форма
S = U^HAU = diag(λ₁,...,λ_n),
където λ_i = λ_i(А) са собствените стойности на матрицата А.

Ако матрицата А е унитарна, то от
А^HА = US^HSU^H = I_n
следва
S^HS = diag(|λ₁|²,...,|λ_n|²) = I_n
и
|λ_i| = 1, i = 1,...,n.
Следователно спектърът на всяка комплексна унитарна (и в частност на всяка реална ортогонална) матрица е разположен върху единичата окръжност в С.

Нека матрицата А е реална ортогонална. Тогава нейните собствени стойности могат да бъдат реални и равни на ±1, или комплексно спрегнати от вида λ_i = α_i ± iβ_i. В този случай матрицата А е ортогонално подобна на блок-диагонална матрица
Σ = V^TАV, V О(n,R),
с 2 х 2 диагонални блокове

и 1 х 1 блокове, равни на 1 или —1.

Когато матрицата А е ермитова (и в частност реална симетрична), то нейната Шур форма S също е ермитова (S^H = S) и следователно реална. Така комплексните ермитови и реалните симетрични матрици имат само реални собствени стойности. По-нататък ще означаваме с λ_max(А) и λ_min(А) най-голямата и най-малката собствени стойности на ермитовата матрица А съответно.

Когато матрицата А е антиермитова (и в частност реална антисиметрична), то нейната Шур форма S също е антиерми-това (S^H = —S) и следователно имагинерна. Така комплексните антиермитови и реалните антисиметрични матрици имат само имагинерни собствени стойности.

Ермитовата матрица А се нарича положително определена когато х^HАх > 0 за всеки ненулев вектор х. Аналогично се дефинират неотрицателно определени, отрицателно определени и неположително определени матрици. Когато матрицата А е реална и симетрична, условието за положителна определеност е х^TАх > 0 за всеки реален ненулев вектор х. Очевидно матрицата А е положително (съответно неотрицателно) определена точно когато матрицата — А е отрицателно (съответно неположително) определена.

Ермитовата матрица А се нарича (знако) неопределена когато са възможни равенствата х^HАх > 0 и у^HАу < 0 за два вектора х и у. Матрицата А е неопределена точно когато е неопределена и матрицата —А.

Да положим у = U^Hx, където S = U^HAU е диагоналната Шур форма на ермитовата матрица А F^nxn със собствени стойности λ_i. Тогава имаме х = Uу и съответно

Да означим с n₊ ≥ 0, n_- ≥ 0 и n₀ ≥ 0 броят на положителните, отрицателните и нулевите собствени стойности на А съответно, където n₊ + n_- + n₀ = n. Тогава е ясно, че матрицата А е:
- положително определена точно когато n₊ = n;
- неотрицателно определена точно когато n_- = 0;
- неопределена точно когато n₊ > 0 и n_- > 0.

11.3 Мярка за нормалност

Нека А F^nxn е произволна (не непременно нормална) матрица. Съществуват различни начини да се прецени колко „близо" до нормалност е матрицата А. Така например като мярка за нормалност може да се приеме всяка непрекъсната функция μ : F^nxn ⇒ R₊, такава че μ(А) = 0 точно когато матрицата А е нормална.

Да означим с N_n(F) F^nxn множеството на нормалните матрици:
N_n(F) := {А F^nxn : A^HA = AA^H}.

Използват се следните мерки за нормалност на матрица:

- разстояние до множеството N_n(F) в нормата на Фробеиус,
μ_F(A) := min{||A - N||_F : N N_n(F)};

- разстояние до множеството N_n(F) в спектралната норма,
μ₂(A) := min{||A - N||₂ : N N_n(F)};

- оценка на остатъка А^HА — АА^H в нормата на Фробеиус,
ν_F(А) := √||A^НA - АA^Н||_F;

- оценка на остатъка A^HA — AA^H в спектралната норма,
ν₂(A) := √||A^НA - AA^Н||₂.

Използват се още две мерки за нормалност, основани на следното наблюдение. Както знаем, матрицата А е нормална точно когато нейната Шур форма U^HAU е диагонална.

От друга страна за всяка матрица А нейната Шур форма S = U^HAU може да се представи като S = Λ + М, където матрицата
Λ = diag(λ₁,...,λ_N)
съдържа собствените стойности на А по диагонала си, а матрицата М е строго горно триъгълна. Това представяне не е единствено. Следователно можем да дефинираме величината
ω(А) := min{||М|| : U^HAU = Λ + М, U U(n)},
където || • || е някоя унитарно инвариантна матрична норма.

Когато използваме нормата на Фробениус имаме
||A||²_F = ||Λ + М||²_F = ||Λ||²_F + ||М||²_F.
От друга страна

Следователно в този случай мярката за нормалност от тип ω е

При използване на спектралната норма съответната мярка ще означаваме с ω₂(А). За съжаление няма удобен израз за пресмятане на величината ω₂(А) в общия случай.

Всички разгледани мерки за нормалност μ, ν, ω, притежават и свойствата
μ(А) = ц(А с черта) = μ(А^T) = μ(А^H) = μ(U^HAU),
където матрицата U е унитарна.

В сила са следните зависимости между въведените по-горе мерки за нормалност (навсякъде за краткост матричният аргумент е изпуснат):

μ₂ ≤ μ_F ≤ √nμ₂, (a)

ν₂ ≤ ν_F ≤ √nν₂

ω₂ ≤ ω_F ≤ √nω₂

ω_F ≤ [(n³ - n)/12]^1/4.ν_F

ν²_F ≤ √2(||A||_F + ||Λ||²_F).ω_F ≤ 2||A||_F.ω_F,

ν²_F ≤ 4||A||₂.ω_F,

ν²_F ≤ 4||A||_F.μ₂ + √2n.μ²₂,

μ_F ≤ ω_F.

11.4 Упражнения

Упражнение 11.1 Намерете всички реални нормални матрици с размер 2x2.

Упражнение 11.2 Намерете всички комплексни нормални мат-рици с размер 2x2.

Упражнение 11.3 Нормални ли са комплексните симетрични матрици (А^T = А)? Дайте примери.

Упражнение 11.4 Покажете, че всяка квадратна комплексна матрица може да се представи като сума от една ермитова и от една антиермитова матрица. Единствено ли е това представяне?

Упражнение 11.5 Покажете, че всяка квадратна реална матрица може да се представи като сума от една симетрична и от една антисиметрична матрица. Единствено ли е това представяне?

Упражнение 11.6 Известни са близо 100 условия за нормалност на матрица. Покажете например, че матрицата А F^nxn със собствени стойности λ₁,..., λ_n е нормална точно когато е изпълнено което и да е от следните условия:
- за всеки полином р матрицата р(А) е нормална;
- за всяка унитарна матрица U матрицата U^HАU е унитарна;
- за всяка унитарна матрица U, такава че

и матрицата В е квадратна, имаме С =? 0;
- за всяко А-инвариантно подпространство L Fⁿ ортогоналното допълнение L също е А-инвариантно;
- съществува унитарна матрица U, такава че матрицата U^HАU е диагонална;
- матрицата А има система от n линейно независими собствени вектори, като всеки два собствени вектора, съответстващи на различни собствени стойности, са ортогонални;
- съшествува полином р, такъв че А^H = р(А);
- матрицата А комутира с някоя нормална матрица с различни собствени стойности;
- матрицата А комутира с някоя ермитова матрица с различни собствени стойности;
- матриците А + А^H и А — А^H комутират;
- изпълнено е

Упражнение 11.7 Покажете че неособената матрица А е нормална точно когато е изпълнено което и да е от следните условия:
- матрицата А^-1 е нормална;
- матрицата А^-1А^H е нормална;
- матриците А и А^-1А^H комутират.

Упражнение 11.8 Покажете, че една ермитова матрица е положително (съответно отрицателно) определена точно когато тя е обратима и нейната обратна матрица е също положително (съответно отрицателно) определена. Обратима ли е всяка неопределена матрица?

Упражнение 11.9 Нека е дадена ермитовата матрица А F^nxn. Да означим с d_i детерминантата на i х i подматрицата на А, образувана от пресичането на първите i реда и i стълба на А. Покажете, че матрицата А е положително определена точно когато са изпълнени неравенствата
d_i > 0, i = 1,..., n.
Тези условия за положителна определеност са известни като критерий на Силвестър. Впрочем, критерият на Силвестър рядко се използва за практически цели предвид на проблемите при пресмятане на детерминанти в крайна аритметика.

Упражнение 11.10 Нека е дадена блочната ермитова матрица

(тук по необходимост подматриците A_1,1 и A_2,2 на А също са ермитови). Покажете, че матрицата А е положително определена точно когато матрицата А_1,1 е обратима, а матрицата
A_2,2 — A^H_1,2A^-1_1,1A_1,2
е положително определена. Формулирайте аналогичен резултат като размените местата на индексите 1 и 2.

Упражнение 11.11 Докажете неравенствата (a).

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: