3.2 Операции с матрици

Съдържание на учебника по линейна алгебра

В тази глава:
3.1 Основни определения
3.2 Операции с матрици
3.3 Норма на матрица
3.4 Упражнения

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Операциите транспониране и ермитово спрягане се обобщават за матрици както следва. Матрицата

е транспонирана на матрицата (3.1), а матрицата

е ермитово спрегната на матрицата (3.1). Така при транспониране редовете преминават в стълбове и обратно. Както и при векторите, операциите транспониране и спрягане са инволюции:
Т)Т = А, (АH)H = А.
Ако А = [ai,j] е матрица и λ е число, то произведение на матрицата А с числото λ е матрицата
λА = Аλ = [λai,j].
Така при умножаване на матрица с число всички елементи на матрицата се умножават с това число.

Нека А = [ai,j] са В = [bi,j] са матрици с еднакви размери. Сума на матриците А и В ще наричаме матрицата
А + В = [ai,j + bi,j].
Така матриците се сумират поелементно. В сила са зависимостите
(А + В)T = АT + ВT, (А + В)H = АH + ВH.

Умножаването на матрица с число и сумирането на матрици са естествени обобщения на съответните операции с вектори. Нещо повече, множеството Fm × n е линейно пространство в смисъл, че за всички А, В принадлежи Fm × n и А,B принадлежи Fm × n имаме λA + μB принадлежи Fm × n.

Bпрочем, всяка матрица може да се запише и като вектор. Така например за матрицата
А = [а•1, а•2,...,а•n]принадлежи Fm × n,
където a•j принадлежи Fm са стълбовете на А, векторът

се нарича стълбово векторно представлне на А.
Аналогично, ако ai• принадлежи F1 x mn са редовете на А принадлежи Fm × n, то можем да дефинираме и редовото векторно представяне
row(A) := [a1•,....., am•] принадлежи F1 x mn
на А.

При матриците е възможно да се въведат различни операции, които да се интерпретират като умножение. Предварително даже не е съвсем ясно какво трябва да разбираме под произведение на две матрици. Едно естествено (макар и слабо) изискване към операцията умножение на матрици е то да съвпада с обичайното умножение в R или С в случая, когато матриците са от първи ред, т.е., когато те са числа.

Hие тук ще приемем, че една операция ×, която на матриците А и В съпоставя матрицата А × B, е умножение, ако е в сила дистрибутивният закон, свързващ умножението и сумирането, например А × (В + С)=А × В + А × С. Забележете, че тук не се иска матриците А, В и/или А × В да бъдат с еднакви размери. И разбира се, отнапред не е ясно дали това умножение е комутативно или асоциативно.

Дори и при тази допълнителна уговорка е възможно да се въведат различни произведения на матрици.

Нека например А, В принадлежи Fm × n. Числото
$\big\langle А,В \big\rangle := tr(АВ^*)$
се нарича скаларно произведение на матриците А и В. Действително, това е всъщност скаларното произведение на векторните представяния на А и В:

$\big\langle А,В \big\rangle = \big\langle vec(А),vec(В) \big\rangle$.

Най-широко приложение е намерило т.нар. стандартно умножение, което се дефинира както следва.
Нека първо разгледаме случая на умножение на вектор-ред с вектор-стълб. Ако
а = [а1, а2,..., аn] принадлежи F1 x n
и
b=[b1, b2,..., bn]T принадлежи Fn,
то произведение на вектора-ред а и вектора-стълб b ще наричаме числото
аb := а1b1 + а2b2 + ..... + аnbn принадлежи F.

В реалния случай аb е равно на скаларното произведение $\big\langle a^T,b \big\rangle$ и обратно, скаларното произведение
$\big\langle$х, у$\big\rangle$ на векторите х, у принадлежи Rn може да се запише като xTy.

Ако b е m-мерен вектор-стълб, а а е n-мерен вектор-ред, то може да се дефинира и
произведението С = bа, което m × n матрица с елементи сi,j = biaj.

Нека сега са дадени матриците А = [ai,j] принадлежи Fm × n и В = [bi,j] принадлежи Fn x p (забележете, че броят n на стълбовете на A е равен на броя на редовете на В). Тогава стандартно произведение (или просто произведение) на матриците А и В ще наричаме матрицата
С = АB принадлежи Fm x p,
чиито елементи сi,j = (АВ)i,j в позиции (i,j) се определят от равенствата
сi,j := ai•b•j = ai,1b1,j + ai,2b2,j + .... + ai,nbn,j.

Така елементът (АВ)i,j е произведението на i-тия ред ai•, на А с j-тия стълб b•j на В. По тази причина стандартното умножение се нарича още „умножение ред по стълб".

Други видове произведения на матрици са описани в упражнения 3.2 - 3.4.

Стандартното умножение не е комутативно, т.е., възможно е АВ ≠ ВА. Действително, дори ако произведението АВ е определено, произведението ВА може да не е определено (и двете произведения са определени точно когато А принадлежи Fm × n и В принадлежи Fn × m) или да има друг размер в сравнение с АВ (двете произведения имат еднакъв размер точно когато А, В принадлежи Fn x n). И накрая, възможно е двете произведения АВ и ВА да са определени и да имат еднакви размери, но да са различни.

Пример 3.2 Нека

Тогава
хTх = ||х||2 = 25 принадлежи R, ххT = принадлежи R2 × 2
и

koето илюстрира некомутативността на умножението.

Нека А,В принадлежи Fn x n. Матрицата
[А, В] := АВ - ВА
се нарича комутанта на матриците А и В.

Матриците А и В са комутативни (или комутират), ако [А, В] = 0.
С непосредствена проверка се установява (вж. упражнение 3.1), че стандартното умножение е асоциативно
(АВ)С = А(ВС) = АВС            (3.2)
и удовлетворява дистрибутивните правила
А(В + С) = АВ + АС,            (3.3)
(В + С)D = ВD + СD
(предполага се, че размерите на участващите в (3.2) и (3.3) матрици позволяват извършване на означените действия).

Cъщо така лесно се вижда, че ако е определено матричното произведение АВ, то
(АВ)Т = ВТАТ, (АВ)H = ВHАH.            (3.4)

Важен частен случай е умножението на матрица А принадлежи Fm × n по вектор-стълб х принадлежи Fn, както и на вектор-ред у принадлежи F1 x m по матрица А принадлежи Fm × n, при което Ах принадлежи Fm и уA принадлежи F1 x n.

За квадратни матрици A по индукция се определя повдигането на цяла положителна степен d > 1:
А1 = А
Аd = ААd - 1 = ad - 1A.

Умножаването на две общи матрици (т.е., на матрици, за които не се предполага някаква специална структура), както и повдигането на матрица на цяла степен d > 1, е тривиално в теоретично отношение, но е много опасно при използване на компютърна аритметика с плаваща точка поради възможния катастрофален ефект на взаимното унищожение и на грешките от закръгляне [23, 2, 20, 9, 8]. Поради това в изчислителните алгоритми на съвременната линейна алгебра умножаване на матрици обикновено се допуска само при някои допълнителни изисквания към поне единия от двата матрични множителя. Така например желателно е поне единият от тях да е ортогонална матрица в реалния случай или ермитова матрица в комплексния случай.

За матрици, записани в блочна форма, например
А = [Ai,j] принадлежи Fm × n, Ai,j принадлежи Fmi x nj
и
B = [Bi,j] принадлежи Fn x p, Bi,j принадлежи Fni x pj
произведението С = АВ също може да се запише в блочна форма
C = [Ci,j], Ci,j принадлежи Fmi × pj,
където
Ci,j := Ai,1B1,j + Ai,2B2,j + ..... + Ai,rBr,j
и r е броят на блочните стълбове на А, равен на броя на блочните редове на В. В частност,
А[В1, В2, ..., Вn] = [AВ1, AВ2, ..., AВn]
и

Единичната матрица играе роля както на десен, така и на ляв неутрален елемент при стандартното умножение. Така за А принадлежи Fm × n е в сила
АIn = ImА = А
(докажете!).

Нека А принадлежи Fm × n е зададена матрица. Матрицата X принадлежи Fn × m се нарича дясна обратна на матрицата А, ако АХ = Im. Аналогично, Y принадлежи Fn × m е лява обратна на A ако YА = In. Тук случаите m = 1 и/или n = 1 не се изключват.

Може да се покаже, че ако матрицата А е има дясна обратна X, то по необходимост m ≤ n, а матриците ХT и ХH са леви обратни на матриците AT и AH съответно. Аналогично, ако матрицата А принадлежи Fm × n има лява обратна Y, то по необходимост m ≥ n, а матриците YT и YH са десни обратни на матриците AT и AH съответно.

Пример 3.3 Матрицата

няма дясна обратна. Същевременно тя има безкрайно много леви обратни матрици
Y = [y1,y2],
където
y1 = a1/(a12 + a22) + a2t, y2 = a2/(a12 + a22) - a1t
и t принадлежи F произволен параметър.

Лесно се вижда, че ако дадена матрица А има както дясна обратна X, така и лява обратна Y, то тя е квадратна, а двете обратни матрици X и Y съвпадат. Действително, в този случай имаме
YАХ = Y(АХ) =YI = Y
и
YАХ = (YА)Х = IX = X,
откъдето X = Y. Поради това за квадратната А матрица казваме, че тя има обратна матрица X, ако АХ = I. Обратната матрица на матрицата А се означава с A-1.

Не всяка квадратна матрица има обратна. Например нулевата матрица очевидно няма обратна, тъй като 0Х = 0 ≠ 1. Матриците, които имат обратна матрица, се наричат обратими, или неособени, или неизродени. На свой ред матриците, които нямат обратна матрица, се наричат необратими, или особени, или изродени.

Пример 3.4 Матрицата

е обратима, като

Hепосредствено се проверява, че ако матриците А,В принадлежи Fn x n са неособени, то и тяхното произведение АВ принадлежи Fn x n също е неособена матрица, като
(АВ)-1 = В-1А-1.

Действително, имаме
АВВ-1А-1 = АInА-1 = АА-1 = In.

Ако матрицата А е неособена, то може да се определят цели отрицателни степени
А-1 := (Ad)-1,
където d, е натурално число.

За някои класове матрици А може да се дефинира и произ-волна степен Аd, където d принадлежи R или даже d принадлежи C.

Нека е дадена диагоналната матрица
Λ = diag(λ1,..., λn)
с реални или комплексни диагонални елементи λi. Да предположим, че са коректно определени всички степени λ1d,..., λnd (за целта може да се използват главните разклонения на фун-кцията z клоняща към zd). Тогава можем да определим
Λd :=(λ1d,....., λnd)
Ако Λ е неособена матрица (т.е., λ1....λn ≠ 0), то формулата за Λd е в сила за всяко d принадлежи Q.

Нека сега А принадлежи Fn x n е матрица, за която съществува друга неособена матрица В принадлежи Fn x n, такава че
А = ВΛВ-1, Λd :=(λ1,....., λn)
(такава матрица се нарича диагонализируема). Тогава можем да положим
Аd := ВΛdВ-1
при условие, че степените λid могат да се определят коректно. В случай, че d принадлежи Q това може да стане по краен брой начини. При d принадлежи R\Q или d принадлежи С\R така определената функция A клоняща към Аd е безкрайнозначна.

Съдържание на учебника по линейна алгебра

В тази глава:
3.1 Основни определения
3.2 Операции с матрици
3.3 Норма на матрица
3.4 Упражнения

Обратна връзка   За контакти:
Съдържание: 1 клас, 2 клас
    Facebook        Форум за математика (заключен)   
Copyright © 2005 - 2024 Копирането на материали е нарушение на закона за авторските права и сайтът ще си търси правата!