Матрици

3.1 Основни определения

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Таблицата
          (3.1)
съдържаща mn числа a_i,j F, се нарича матрица с m реда и n стълба (или колони). Казваме също, че А е (m х n) - матрица с елементи a_i,j. Тук първият индекс i показва реда, а вторият j - стълба, в който се намира елементът a_i,j. Елементите на А се означават и като (-А)_i,j.

Матрицата е реална (съответно комплексна), ако елементите й са реални (съответно комплексни) числа. Аналогично се дефинират рационални матрици, целочислени матрици и т.н.

Множеството на реалните (m х n) - матрици ще означаваме с R^{m х n}, а на комплексните (m х n) - матрици съответно с C^{m х n}. Когато някой факт се отнася както за реалния, така и за комплексния случай, ще означаваме с F^{m х n} което и да е от множествата R^{m х n} или C^{m х n}. Ако сравним с означенията от глава 2 се вижда, че сме приели съкращението Fⁿ за пространството F^{n х 1}.

Броят на редовете и броят на стълбовете на дадена матрица определят нейния размер. За матрицата (3.1) казваме още, че е матрица m х n (чете се „ матрица ем на ен").

За отбелязване на матрицата (3.1) се използуват съкратените означения
A = [a_i,j]_i,j=1^m,n
или само А = [a_i,j] когато размерът на A е ясен от контекста или е без значение.

При m ≠ n матрицата (3.1) е правоъгълна, а при m = n - квадратна. Матрица с размер n x n се нарича матрица от n-ти ред. При m > n матрицата (3.1) се нарича още изправена, а при m < n - легнала.

Позициите (1,1), (2,2),... (р,р), където р = min{m, n}, образуват главния диагонал на матрицата (3.1). Аналогично се дефинират под- и наддиагоналите на дадена матрица. Сумата
a_1,1 + a_2,2 + ..... + a_p,p
от елементите а_i,j по главния диагонал е важна числова характеристика на матрицата (3.1). Тя се нарича следа и се бележи с tr(А) (използува се и означението sр(A)).

Съществуват различни видове матрици в зависимост от наличието на единици или нули в зададени позиции. Така например матрицата (3.1) се нарича:
• Нулева, ако всичките й елементи са равни на нула. Нулевата матрица се означава с 0 или с 0_{m х n}, ако е необходимо да се укаже размера й.
•Диагонална, ако a_i,j = 0 при i ≠ j. Често под диагонална матрица се разбира квадратна диагонална матрица. По определение

за всеки набор от n числа λ_i.
•Единична, ако тя е квадратна, диагонална и всичките й диагонални елементи са равни на 1. Единичната матрица се означава с I или с I_n, ако е необходимо да се укаже, че е с размер n х n, например

•Горно триъгълна, ако a_i,j = 0 при i > j, например

•Долно триъгълна, ако a_i,j = 0 при i < j

Матрицата е разредена, ако броят на ненулевите й елементи е малък в сравнение с броя на всичките й елементи. Мярка за разреденост на дадена матрица е коефициентът на запълване, равен на отношението на броя на възможно ненулевите елементи към броя на всички елементи. За съхраняване и обра-ботка на разредени матрици са разработени алгоритми, които запазват специалната структура с оглед на икономия на памет и намаляване на изчислителните операции. Частен случай на разредени матрици са т.нар. лентови матрици, при които не-нулеви са само елементите по главния диагонал и по някои от съседните му под- и наддиагонали.

Пример 3.1 Тридиагоналната матрица от 7 ред има вида
,
където х е отбелязан произволен (не непременно нулев) елемент. В общия случай една к-диагонална лентова матрица от n-ти ред има не повече от кn ненулеви елемента и коефициент на запълване к/n, който при неограничено нарастване на реда n клони към нула.

В редица случаи е удобно матриците да се представят в т.нар. блочен вид чрез разделяне на подматрици, например

където подматриците В,С,D имат еднакъв брой редове, подматриците В, Е имат еднакъв брой стълбове и т.н. По-общо, матрицата А⁰ F^{p х q} е подматрица на матрицата А F^{m x n}, където р ≤ m, q ≤ n, ако тя е образувана от елементите на А, разположени на пресичането на дадени р реда (например редовете с номера i₁, i₂, ......, i_p) и q стълба (например стълбовете с номера j₁, j₂,......, j_q).

Често матриците се представят в блочна форма по стълбове или по редове, например
А = [а,b,...,с]
или

където а,b,...,с са вектори-стълбове, а f, g,..., h са вектори-редове.

За j-тия стълб на матрицата (3.1) се използува означението а_•j F^m, а за i-тия ред съответно а_i• F^{1 x n}.

Нека х,у,...,z са к на брой вектори с еднакви размери с елементи от F. Тези вектори се наричат линейно независими (вж. също глава 5), ако за всеки набор от к числа α, β,..., γ F, поне едно от които не е нула, имаме
αх + βу + ..... + γz ≠ 0.
Максималният брой линейно независими стълбове на А F^{m x n} се нарича ранг на матрицата А и се бележи с rank(A). Може да се покаже, че максималният брой линейно независими редове в А също е равен на r. Така
rank(А) = rank(А^T) = r ≤ min{m, n}.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: