Math10.com

 

Глава 15

МАТРИЧНИ ФУНКЦИИ

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

15.1 Основни определения

В редица практически задачи се налага да се пресметне изразът ƒ(А), където А е квадратна матрица.

Нека например е дадено векторното диференциално уравнение
х'(t) = Ах(t)
с начално условие x(0) = x₀ където х : R → Сⁿ е търсената векторна функция, А С^{n x n} е зададена матрица и x₀ Сⁿ е зададен начален вектор. Решението на тази задача може да се запише във вида
х(t) = ехр(At)x₀,
където т.нар. матрична експонента ехр(А) (означавана още като е^A) се определя като сумата на сходящия матричен ред

В скаларния случай а С изразът ехр(а) = е^а е стандартната експонента.

В общия случай дефинирането на матрична функция на матричен аргумент не е проста задача.

Нека D С е област (отворено и свързано множество) и ƒ : D → С е аналитична комплексна функция. Нека освен това z₀ е фиксирана точка от I). Тогава в околност на х0 стойностите на функцията / могат да се представят чрез сходящия степенен ред
(1)
Нека ρ = ρ(z₀) е радиусът на сходимост на реда (1).

Да предположим, че А F^{n x n} е фиксирана матрица. Тогава за всяка матрица А F^{n x n} такава че ||А — А₀|| ≤ ρ имаме
spect(А - А₀) D
и можем да определим матричния израз ƒ(А) чрез сходящия матричен ред

По-нататък без ограничаване на общността ще приемем, че А₀ = 0.

Ще отбележим също така, че ако
ƒ(z) = g(z)/h(z)
където g и h са аналитични функции в околност на началото, то при достатъчно малки по норма матрици А можем да определим израза
ƒ(A) = g(A)(h(A))^-1 = (h(A))^-1g(A).

Пример 15.1 Нека при х ≠ 0,5 изразът ƒ(z) е определен от

Тогава за всяка матрица А F^{n x n}, такава че 0,5 ∉ spect(А), можем да определим матричния израз
ƒ(А) = (3I_n + А)(I_n - 2А)^-1 = (I_n - 2А)^-1(3I_n + А).

Описаният способ за дефиниране на матричен израз ƒ(А) F^{n x n}, A F^{n x n}, въз основа на скаларния израз ƒ(z) F, z F, се нарича заместване „А-вместо-z". Строги определения на матрична функция на матричен аргумент ƒ : F^{n x n} → F^{n x n} са дадени в следващата секция.

15.2 Пресмятане на матрични функции

Да предположим, че комплексната функция ƒ е аналитична в областта D С, оградена от контура γ, и е непрекъсната върху γ. Нека освен това за някоя матрица А F^{n x n} е изпълнено spect(А) D. Тогава можем да определим матрицата

където интегрирането се извършва поелементно. Последният израз е матрична версия на знаменитата интегрална формула на Коши.

Съгласно горната дефиниция, ако А = UΛU^-1, където U GL(n,F), то
ƒ(А) = Uƒ(A)U^-1.
Също така, ако
Λ = diag(Λ₁,...,Λ_p)
е блочно диагонална матрица с диагонални блокове Λ₁,...,Λ_p, то
ƒ(Λ) = diag(ƒ(Λ₁),...,&fonf;(Λ_p)).

Да предположим сега, че Λ е комплексната жорданова форма на матрицата А. Тогава всеки блок Λ_k е или скалар Λ_k = λ, λ spect(А), при което
ƒ(Λ_k) = ƒ(λ),
или m х m матрица (m > 1) от вида

Матрицата J може да се запише като
J = λI_m + N_m,
където N_m е матрица с елементи (N_m)_i,j = δ_i,j-1 (тук δ_i,j е символът на Кронекер, равен на 0 при i ≠ j и на 1 при i = j).

Когато s ∉ spect;(J) имаме
(sI_m - J)^-1 =
Оттук и от интегралната формула на Коши следва

Като вземем предвид, че (N^k_m)_i,j = δ_i,j-k получаваме

В частност, ако матрицата А е диагонализируема,
A = Udiag(λ₁,...,λ_n)U^-1, (2)
то
ƒ(А) = Udiag(ƒ(λ₁),...,ƒ(λ_n))U^-1. (3)
Нека освен това
U = [u₁,...,u_n], U^-1 = [v₁,... ,v_n]*.
Тогава от (3) следва
ƒ(A) =

15.3 Конкретни матрични функции

Когато матрицата А F ^{n x n} е диагонализируема и m > 1 е натурално число, то можем да определим максимум mⁿ на брой m-ти корени на А по формулата
А^1/m = Udiag(λ^1/m₁,...,λ^1/m_n)U^-1.
Тук всяко λ^1/m_k пробягва m-те (комплексни) корена на числото λ^1/m₁.

Когато матрицата А е комплексна ермитова (реална симетрична) неотрицателно определена имаме λ_k ≥ 0 и можем да определим неотрицателно определения квадратен корен
А^1/2 = Udiag(λ^1/2₁,...,λ^1/2_n)U*, λ^1/2_k ≥ 0.

В предишната секция беше определена показателната матрична функция

Аналогично се определят матричният синус

и матричният косинус

Когато спектърът на А F^{n x n} лежи в отворения единичен кръг в комплексната равнина можем да определим и функцията

Трябва да се има предвид, че горните формули, основани на жордановата канонична форма на A, не са подходящи за реализация в крайна аритметика [19]. Причината за това е, че в общия случай малки грешки (например от закръгляне) могат да променят жордановата структура на матрицата. Дори в случая (2), (3) на диагонализируема матрица грешките в изчислените собствени стойности λ_k на А могат да са от порядъка на eps cond(U), където ерs е мярката на закръгляне на крайната аритметика, а cond(U) = ||U||||U^-1||.

По принцип може да се очаква, че когато матрицата А има прост спектър, но (поне две) близки собствени стойности и/или големи извъндиагонални елементи, задачата за нейната диагонализация ще се натъкне на изчислителни трудности.

15.4 Упражнения

Упражнение 15.1 Нека А е квадратна матрица и ƒ е аналитична функция. Покажете, че:

- матриците А и ƒ(А) комутират;

- ако матрицата А е горно триъгълна, то и ƒ(А) е горно триъгълна. Вярно ли е обратното? Обобщете този резултат за блочно триъгълни матрици.

- ако матрицата А е комплексна ермитова (реална симетрична), то и ƒ(А) е комплексна ермитова (реална симетрична). Вярно ли е обратното?

Упражнение 15.2 Нека А,В F^{n x n}. Покажете, че
ехр(A + В) = ехр(A)ехр(B)
точно когато АВ = ВА.

Упражнение 15.3 Нека А,В F^{n x n}. Покажете, че
sin(А + В) = sin(А) cos(В) + cos(А) sin(B)
и
cos(A + В) = cos(А) cos(В) - sin(А) sin(В)
точно когато АВ = ВА.

Упражнение 15.4 Въведете матрични аналози на функциите тангенс и котангенс и на техните обратни функции чрез степенни редове, като определите съответните области на сходимост. Направете същото за хиперболичните синус, косинус, тангенс и котангенс и за техните обратни функции.

Упражнение 15.5 Изведете матрични аналози (за комплексни матрици) на зависимостите между тригонометричните и хиперболичните функции в комплексната област.

Упражнение 15.6 Докажете, че ако а, b R, то

Упражнение 15.7 Като използвате резултата от упражнение 15.6 пресметнете ехр(К) когато К е реален жорданов блок от втори тип.

Упражнение 15.8 Покажете, че ако матрицата А е комплексна антиермитова (реална антисиметрична), то матрицата exp(А) е унитарна (ортогонална).

Упражнение 15.9 Покажете, че

точно когато спектърът на матрицата А лежи в лявата отворена комплексна полуравнина.

Упражнение 15.10 Покажете, че

точно когато спектърът на матрицата А лежи в централния отворен единичен кръг в комплексната равнина.

Упражнение 15.11 Докажете, че ако J := λI_m + N_m, то

Упражнение 15.12 Покажете, че за матричните синус и косинус са в сила зависимостите
соs(2А) = 2соs²(А) - I, sin(2А) = 2sin(А) cos(А).

Упражнение 15.13 Да разгледаме матричното диференциално уравнение
Х"(t) + АХ(t) =0
с начални условия
Х(0) = Х₀, Х'(0) = Х'₀,
където X : R → F^{n x m} е търсеното решение, Х₀,Х'₀ F^{n x m} са зададени матрици и A F^{n x n} е комплексна ермитова (или реална симетрична) положително определена матрица. Покажете, че
Х(t) = cos(tА^1/2)Х₀ + А^-1/2sin(tА^1/2)Х'₀.

Упражнение 15.14 Нека А Fn x n е зададена матрица, а функцията [t0,t1] → Fn x n, зададена от t → ƒ(tA), е четирикратно диференцируема. Да разгледаме задачата за приближено пресмятане на интеграла
Y := ∫t1t0 ƒ(tA)dt,
зададен поелементно. По формулата на Симпсън със стъпка h := (t1 — t0)/N имаме

където N > 2 е четно число, а теглата ω_k са определени от ω_k = 1 когато k = 0 или k = m, ω_k = 2 когато 0 < k < N е четно и ω_k = 4 когато k е нечетно.
Покажете, че за нормата на грешката е изпълнено

За мен   За реклама   Дарения    Детска енциклопедия