Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици

проф. Михаил Константинов

Всички материали от тези страници са от учебника на проф. Константинов - "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици"

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

Съдържание:

• 2 ВЕКТОРИ
• 2.1 Основни определения
• 2.2 Операции с вектори
• 2.3 Скаларно произведение. Норма
• 2.4 Афинно пространство
• 2.5 Упражнения
• 3 МАТРИЦИ
• 3.1 Основни определения
• 3.2 Операции с матрици
• 3.3 Норма на матрица
• 3.4 Упражнения
• 4 ДЕТЕРМИНАНТА
• 4.1 Основни определения и свойства
• 4.2 Явни изрази за детерминанта и перманента
• 4.3 Минори
• 4.4 Упражнения
• 5 ПОДПРОСТРАНСТВА
• 5.1 Основни определения и свойства
• 5.2 Линейна зависимост на вектори
• 5.3 Прави и равнини
• 5.4 Фундаментални подпространства на матрица
• 5.5 Упражнения
• 6 ЕЛЕМЕНТАРНИ ТРАНСФОРМАЦИИ
• 6.1 Уводни бележки
• 6.2 Матрично представян
• 6.3 Привеждане на матрица
• 6.4 Упражнения
• 7 ОРТОГОНАЛНИ И УНИТАРНИ МАТРИЦИ
• 8 ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ
• 9 ЧУВСТВИТЕЛНОСТ НА ЛИНЕЙНИТЕ УРАВНЕНИЯ
• 10 СОБСТВЕНА СТРУКТУРА НА МАТРИЦА
• 11 НОРМАЛНИ МАТРИЦИ
• 12 ИТЕРАЦИОННИ МЕТОДИ ЗА ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ
• 13 УНИТАРНИ ДЕКОМПОЗИЦИИ
• 13 УНИТАРНИ ДЕКОМПОЗИЦИИ - 2 част
• 14 ПРОИЗВЕДЕНИЕ НА КРОНЕКЕР
• 15 МАТРИЧНИ ФУНКЦИИ

1.3 Основни означения

Навсякъде в учебника ще използуваме следните означения за някои числови множества:

N = {1,2,...} - множеството на натуралните числа;

Z = {..., -2, -1,0,1, 2,...} - множеството на целите числа и нулата;

Q = {р/q : р N, q N} - множеството на рационалните числа;

R = (-∞, +∞) - множеството на реалните числа;

С = {α + βi : &qalpha;, β R} - множеството на комплексните числа, i = √-1.

Между горните множества съществуват следните включвания:

N Z Q R C.

Когато представените резултати са в сила за вектори и матрици както с реални, така и с комплексни елементи, ще използуваме означението F за което и да е от множествата R или С.

Използвани са и следните специални означения:

F^mхn - Пространството на матриците с размер m х n и с елементи от множеството F, F^m = F^mx1;

I_n - единичната n х n матрица;

diag(λ₁,..., λ_n) - диагонална матрица с елементи λ_i, по диагонала;

е₁, e₂, ... - стълбовете на единичната матрица;

А^Т - транспонираната матрица на матрицата А;

А - комплексно спрегнатата матрица на матрицата А;

А^H = А^T - ермитово спрегнатата матрица на матрицата А;

А* = А^T когато матрицата А е реална;

А* = А^H когато матрицата А е комплексна;

А^-1 - обратната матрица на неособената матрица А;

А^t - псевдообратната матрица на матрицата А;

det(А) - детерминантата на квадратната матрица А;

per(A) - перманентата на матрицата А;

tr(А) - следата на матрицата А;

rank(A) - рангът на матрицата А;

spect(A) - спектърът на квадратната матрица А, т.е., на-борът от собствените й стойности λ_i(А) с отчитане на алгебричните им кратности;

λ_max(A) и λ_min(А) - най-голямата и най-малката собствени стойности на комплексната ермитова (или реалната симетрична) матрица А;

σ₁(А) ≥ ... ≥ σ_n(А) > 0 - сингулярните стойности на мат-рицата А от ранг r ≥ 1;

σ_max(А) = σ₁(А) и σ_min(А) = σ_r(А) - най-голямата и най-малката положителни сингулярни стойности на матрицата А от ранг r ≥ 1;

χ_A(λ) - характеристичният полином на квадратната матрица А;

μ_A(λ) - минималният полином на квадратната матрица А;

|| • || - норма в линейно (векторно) пространство;

с_A = ||А||.||А^t|| - числото на обусловеност на матрицата от пълен ранг А;

Rg(A) - образът на матрицата А;

Кеr(А) - ядрото на матрицата А;

vес(А) - стълбовата векторизация на матрицата А;

L - ортогоналното допълнение на подпространството L;

dim(L) - размерността на (под)пространството L;

L ∩ М - сечението на подпространствата L и М;

L + М - сумата на подпространствата L и М;

L ⊕ М - пряката сума на подпространствата L и М;

А ⊗ В - кронекеровото (тензорното) произведение на матриците А и В;

А ⊕ В - кронекеровата сума на матриците А и В;

GL(n, F) - групата на неособените n х n матрици над полето F;

U(n) - групата на комплексните n х n унитарни матрици;

O(n,F) - групата на ортогоналните n х n матрици над полето F;

еps - мярката на закръгляне на използваната машинна (крайна) аритметика, в която са реализирани съответните матрични алгоритми. При някои допълнителни ограничения скаларните операции в такава аритметика се извършват с относи-телна грешка, ненадвишаваща ерs.

Символът := означава „равно по определение". Определяемите термини са дадени в курсив.

1.4 Благодарности

Обикновено в края на всеки увод авторът благодари на някого за нещо. Най-често това е машинописката, която така прекрасно е напечатала ръкописа. В този случай аз няма да благодаря на машинописката, защото сам съм набирал ръкописа с помощта на компютърната система LATEX, предназначена за математически текстове. Така за съжаление отговорността за евентуалните печатни грешки³ е лично моя.

Всякакви критични бележки по книгата ще бъдат приети с благодарност на адрес: М. Константинов, УАСГ, бул. „Хр. Смирненски" 1, 1421 София, както и на електронния ми адрес mmk_fte@uacg.acad.bg.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: