Детерминанта

Нека да сме благодарни на проф. Михаил Константинов за разрешението да четем "Елементи на линейната алгебра: вектори и матрици" online.

4.1 Основни определения и свойства

Една от важните числови характеристики на всяка квадратна матрица А F^{n x n} е нейната детерминанта det(А) F. Разглеждана като функция, детерминантата изобразява множеството на квадратните матрици F^{n x n} в числовото множество F и притежава редица интересни свойства. Например, с помощта на детерминанти се получава компактен израз за обратната матрица А^-1 при det(А) ≠ 0, макар че този израз не е пригоден за практически изчисления в общия случай. Също така с помощта на детерминанта се дефинира т.нар. характеристично уравнение на дадена квадратна матрица, корените на което са собствените й стойности (вж. глава 10). Чрез детерминанти може да се изрази решението на квадратна неособена система от линейни алгебрични уравнения, макар че това не се препоръчва от изчислителна гледна точка. Изобщо детерминантите намират широко теоретично (и по-рядко практическо) приложение. Геометрически детерминантата на А R^{n x n} се интерпретира като ориентирания обем на паралелопипеда в n-мерното пространство, построен на стълбовете (или редовете) на А.

Друга важна характеристика на всяка (не непременно квадратна) матрица е нейната перманента, която по-долу се разглежда съвсем накратко. По-подробни сведения по теория и приложение на перманентите са изложени в [14].

Възможни са различни подходи при излагане на теорията на детерминантите. При класическия подход първоначално детерминантата се определя като функция на елементите на матрицата чрез един, общо взето, сложен израз (до който ние също ще стигнем). За така въведения израз се доказва, че са изпълнени редица свойства - от шест до десет в зависимост от вкуса на автора. В действителност само три от тези свойства се оказват основни, като останалите се извеждат непосредствено от тях. Поради това е възможен и един друг, аксиоматичен подход при въвеждане на детерминантите, при който тези три свойства се приемат като аксиоми за дефиниране на функцията детерминанта. Впоследствие се доказва, че такава функ-ция съществува (определена от упоменатия по-горе израз) и е единствена. В литературата са известни и други подходи, например детерминантата може да се въведе индуктивно по размера n на матрицата. В настоящата книга е възприет аксиоматичният подход.

Ще отбележим преди всичко, че една функция f на матрицата
А = [а, b, с,..., d]
е функция и на стълбовете а, b, с,..., d, (а също и на редовете) на същата тази матрица, което ще записваме като
f(А) = f(а, b, c,..., d)
(навсякъде по-долу думата „стълб" може да бъде заменена с „ред").

Да разгледаме сега функцията
f : F^{n x n} → F,
удовлетворяваща следните три условия (или, според нашата интерпретация, аксиоми):
1 Полилинейност: Функцията f е линейна по всеки стълб, например по първия
f(λx + μу, b, с,..., d) = λf(x, b, с,..., d) + μf(у, b, с,..., d), където х,у Fⁿ и λ,μ F.
2 Антисиметричност: Изразът f(а, b, с,... ,d) си сменя знака при размяната на всеки два стълба, например на първите два
f(а, b, с,..., d) = -f(b, а, с,..., d).
3 Нормировка: Изпълнено е равенството
f(I_n) = 1.

Функцията f, удовлетворяваща горните три условия, се нарича детерминанта, и се означава с det. В това означение за детерминантата не се отбелязва размерът на аргумента, в случая n. Понякога обаче такова отбелязване е необходимо за по-голяма яснота и тогава за детерминантата det : F^{n x n} → F ще пишем det_n.

В литературата е прието да се казва, че функция, удовлетворяваща условията 1-3, притежава т.нар. детерминантно свойство, или накратко, че е детерминантна функция. Самите условия 1 - 3 се наричат също условия на Вайерщрас (немски математик, 1815-1897).

Ако в системата от условия 1-3 вместо условието 2 поискаме изразът f(а, b, с,..., d) да не се променя при размяна на два стълба, например
f(а, b, с,..., d) = f(b, а, с, ...,d),
то съответната функция f се нарича перманента и се означава с per.

Условието 3 изключва например постоянната функция А → f(А) = 0, за която тривиално са изпълнени условията 1 и 2.

Да видим какво дава горният аксиоматичен подход за дефиниране на функцията детерминанта при n = 1. Съгласно свойство 1 функцията f е линейна, т.е.,
f(а) = νа,
където ν е фиксирано число. От условие 3 имаме
/(1) = ν = 1.
Следователно и детерминантата и перманентата на едномерната матрица А = a_1,1 (т.е., на числото а_1,1 F) са равни на самото число a_1,1.
При n = 2 непосредствено се проверява, че за матрицата

функциите, определени от
det(А) = a_1,1a_2,2 - a_1,2a_2,1,      (4.1)
per(A) = a_1,1a_2,2 + a_1,2a_2,1          (4.2)
удовлетворяват аксиомите за детерминанта и перманента съответно.

Може да се покаже, че ако функцията f : F^{n x n} → F е адитивна по всеки стълб, например по първия,
f(x + у, b, с,..., d) = f(x, b, с,..., d) + f(у, b, с,..., d),
то условието 2 е еквивалентно на условието

2а Ако матрицата А има два еднакви стълба, то f(А) = 0, например
f(а, а, с,... ,d) = 0.

Действително, от свойство 2 следва (за първите два стълба)
f(а, а, с,..., d) = -f(а, а, с,..., d),
откъдето
f(а, а, с,... , d) = 0.

Така показахме, че от свойство 2 следва свойство 2а. Ще покажем, че на свой ред от свойство 2а предвид на свойство 1 следва свойство 2. Нека е в сила 2а. Тогава имаме (отново за първите два стълба)
0 = f(х + у, х + у, с,..., d)
= f(x, х + у, с,..., d) + f(у, х + у, с,..., d)
= f(х, х, с, ..., d)+ f(х, у, с,..., d)
+ f(У, х, с,..., d) + f(у, у, с,..., д)
= 0 + f(x, у, с,..., d) + f(у, х, с,..., d) + 0
= f(х, у, с,..., d) + f(у, х, с,..., d),
което е еквивалентно на свойство 2.

Пример 4.1 Ние вече видяхме, че функцията, определена от (4.1), е детерминанта при n = 2. Сега ще покажем, че в този случай детерминантата е еднозначно определена. Действително, нека е₁ и е₂ са стълбовете на единичната матрица I₂. Тогава матрицата А = [a_i,j] F^{2 x 2} може да се представи във вида
А = [а_1,1е₁ + а_2,1е₂, а_1,2е₁ + а_2,2е₂]
Оттук, като използваме свойствата 1, 2, 2а и 3 и факта, че
det(е₂,е₁) = - det(e₁,е₂) = -det(I₂) = -1,
за детерминантата det(А) получаваме
det(A) = det(а_1,1е₁ + а_2,1е₂, а_1,2е₁ + а_2,2е₂)          (4.3)
= а_1,1det(е₁,а_1,2е₁ + а_2,2e₂)
+ а_2,1det(е₂,а_1,2е₁ + а_2,2е₂)
= a_1,1a_1,2det(е₁,е₁) + a_1,1a_2,2det(е₁,е₂)
+ a_2,1a_1,2det(e₂,е₁) + а_2,1а_2,2det(е₂,е₂)
= 0 + a_1,1,a_2,2 - a_2,1a_1,2 + 0 = a_1,1,a_2,2 - a_2,1a_1,2.

Oт условията 1-3 директно се извеждат следните свойства на детерминантите:

4 Ако матрицата А има два еднакви стълба, то det(А) = 0 (това всъщност е вече разгледаното свойство 2а). Действително, да разменим еднаквите стълбове, при което и матрицата и детерминантата не се променят. Но съглас-но свойство 2 детерминантата си сменя знака. Единственото число, което не се променя при смяна на знака му, е нулата.

5 Ако стълб, умножен с число, се прибави към друг стълб, детерминантата не се променя. Действително, да умножим първия стълб а на А по λ F и да го прибавим към втория. Съгласно свойство 1 и току-що установеното свойство 4 имаме
det(а, b + λа, с,..., d) = det (а, b, с,... , d)
+ λdet(а, а, с,... , d)
= det(а, b, с,..., d) + 0 = det(а, b, с,..., d).

6 Ако някой стълб в матрицата А се изразява линейно чрез останалите, например
а = λb + μc + .... + νa,
то det(А) = 0. Действително, в този случай съгласно свойства 1 и 4 имаме
det(а, b, с,... , d) = λdet(b, b, с,... ,d) + μdet(с, b, с,...,d) +.....+ νdet(d, b, с,..., d) = 0 + 0 +....+ 0 = 0.

7 Ако матрицата А има нулев стълб, то det(A) = 0. Действително, да прибавим към нулевия стълб който и да е от другите стълбове. По свойство 5 детерминантата се запазва, но в матрицата се появиха два еднакви стълба и съгласно свойство 4 новата матрица е с нулева детерминанта. Друго доказателство следва непосредствено от свойство 1. Действително, при μ = 0 свойство 1 ни учи, че при умножаване на стълб с число детерминантата се умножава със същото число. Но нулевият стълб е равен на който и да е стълб, умножен с нула.

8 Ако матрицата А = [a_i,j] F^{n x n} е диагонална, т.е.,
А = diag(а_1,1, а_2,2, ...., a_n,n),
то
det(А) = а_1,1а_2,2....a_n,n.
Действително, в този случай i-тият стълб на A е равен на i-тия стълб на I_n, умножен с a_i,i. Прилагайки n пъ-ти свойство 1 получаваме, че детерминантата е равна на произведението от диагоналните елементи на А по детерминантата на единичната матрица I_n. По свойство 3 det(I_n) = 1, откъдето за детерминантата на матрицата А получаваме, че е равна на произведението на диагоналните й елементи.

9 Ако матрицата А = [A_i,j] е блочно диагонална,

то
det(А) = det(A_1,1)det(A_2,2).....det(A_r,r)          (4.4)
Действително, свойства 1 и 3 са очевидно в сила за функцията det, определена от (4.4). За да докажем, че и свойство 2 е в сила, ще отбележим, че са допустими само такива размествания на два стълба в матрицата А, които запазват нейната блок-диагонална структура. Допустимите размествания могат да се разделят на две групи. Първо, това са размествания, които разместват два стълба вътре в някой от блоковете А_i,j. Така например първият стълб в А можем да го разместваме само с някой от стълбовете с номера от 2 до n₁, при което блоковете от A_2,2 до А_r,r не се променят. Но при такова разместване множителят det(A_i,i) си сменя знака, а останалите множители - не. Така, определеното по-горе произведение от r детерминанти също си сменя знака, т.е., функцията det, определена от (4.4), е антисиметрична и условието 2 е изпълнено. Във втората група влизат размествания, които са възможни само ако два диагонални блока А_i,i, A_j,j-имат нулеви стълбове. Тогава блок-диагоналната структура на А се запазва и при разместване на нейни стълбове, включващи упоменатите нулеви стълбове. Но в този случай имаме както
det(А_i,i) = det(А_j,j) = 0,
така и det(A) = 0 поради наличие на нулеви стълбове според свойсто 7. Така формулата (4.4) за детерминанта на блок-диагонална матрица е вярна и в този случай.

Ние вече показахме, че при n = 1 и n = 2 функцията детерминанта съществува. Сега ще покажем, че това е така и за произволно n > 2. Да означим с А_i,j F^{(n - 1) x (n -1)} подматрицата на матрицата А, която се получава като от А се премахнат i-тият ред и j-тият стълб.

Ще покажем, че за всяко n съществува детерминантно изобpажение det_n, удовлетворяващо условията 1-3. За n = 1 и n = 2 това вече беше показано. За фискирано 1 ≤ i ≤ n да разгледаме изображението f_i : F^{n x n} → F, определено от

където det_{n - 1} : F^{(n - 1) x (n - 1)} → F е детерминантно изображение.

За всяко 1 ≤ j ≤ n изразът det_{n - 1}(A_i,j) не зависи от j-тия стълб на А. Следователно изразът а_i,jdey(А_i,j) зависи линейно от j-тия стълб на А чрез елемента a_i,j. Ще покажем сега, че функцията f_i удовлетворява и условието 2а. Да предположим, че матрицата А има два еднакви стълба, например тези с номера r и s, където r < s. За j ≠ r и j≠ s матрицата А_i,j също има два еднакви стълба и следователно det(А_i,j) = 0. Следователно изразът за f_i(А) се свежда до
f_i(А) = (-1)^{i + r}a_i,rdet_{n - 1}(A_i,r) + (-1)^{i + s}a_i,sdet(А_i,s).
Матрицата А_i,s може да се трансформира в А_i,r посредством разместване на s - r - 1 стълба (напомняме, че стълбовете с номера r и s на матрицата А_i,j са еднакви). Следователно според свойство 2 имаме
det_{n - 1}(A_i,s) = (-1)^{s - r - 1}det_{n - 1}(A_i,r).
Тъй като а_i,r = a_i,s, то
f_i(А) = ((-1)^{i +r} + (-1)^{i + s}(-1)^{s - r - 1})a_i,rdet_{n - 1}(А_i,r).

Лесно се вижда, че
(-1)^{i + r} + (-1)^{i + s}(-1)^{s - r - 1} = (-1)^{i + r}(1 + (-1)^{2s - 2р - 1}) = (-1)^{i + r}(1 + (-1)) = 0.

Оттук F_i(А) = 0 поради наличието на два еднакви стълба в А и следователно функцията f_i удовлетворява условието 2а.

Ще покажем накрая, че f_i удовлетворява и свойството 3. Действително, когато А = I_n имаме a_i,j = 0 при i ≠ j и а_i,i = 1. Следователно
f_i(I_n) = (-1)^{i + i}a_i,idet_{n - 1}(I_{n - 1}) = (-1)²ⁱdet_{n - 1}(I_{n - 1}) = 1.

На този етап не е ясно дали изразът f_i зависи ефективно от i. По-долу ще покажем, че детерминантата е единствена,т.е., имаме
f₁ = f₂ = .... = f_n = det.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: