Нека да сме благодарни на проф. д-р Михаил Константинов за разрешението да четем курса в math10.com.

Класификация и канонизация на повърхнините от втора степен

В тази глава ще разгледаме въпросите за класификация на повърхнините от втора степен
ƒ(x, у, z) = ƒ(r) := r^TАr + 2р^Tr + q = 0
където
$r := \left[ \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right] \textrm{ , } p := \left[ \begin{array}{ccc} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array} \right] \textrm{ , } A := \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right]$
и за опростяване (канонизиране) на уравненията им. Това опростяване се прави чрез подходяща смяна на променливите, включваща транслация и ротация:
r = Uρ + r₀
където ρ := [ξ, η, ζ]^T е нова векторна променлива, r₀ := [x₀, y₀, z₀]^T е постоянен вектор и U принадлежи R^3x3 е ортогонална матрица, т.е., U^TU = I₃. Ще отбележим, че всяка ортогонална 3x3 матрица се свежда до един от следните два типа:
- чиста ротация
U = U(φ, ψ, ω) = U₁(φ) U₂(ψ)U₃(ω)
където
$U_1(\phi) := \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \textrm{ cos } \phi & -\textrm{ sin } \phi \\ 0 & \textrm{ sin } \phi & \textrm{ cos } \phi \end{array} \right] \\ U_2(\psi) := \left[ \begin{array}{ccc} \textrm{ cos } \psi & 0 & -\textrm{ sin } \psi \\ 0 & 1 & 0 \\ \textrm{ sin } \psi & 0 & \textrm{ cos } \psi \end{array} \right] \\ U_3(\omega) := \left[ \begin{array}{ccc} \textrm{ cos } \omega & -\textrm{ sin } \omega & 0 \\ \textrm{ sin } \omega & \textrm{ cos } \omega & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right].$
- отражение
U = U(φ, ψ, ω) = U₁(φ)U₂(ψ)U₃(ω)diag(0, 0, -1).

Както и при кривите от втора степен можем да въведем симетричната матрица
$M := \left[ \begin{array}{cc} A & p \\ p^T & q \end{array} \right] \in R^{4x4}$
и вектора $\widehat{r} = [x, y, z, 1]^T$ , при което уравнението на повърхнината се записва във вида
$\widehat{r}^TM\widehat{r} = 0.$

При смяната, състояща се в транслация и ротация, матрицата М се трансформира в
$N := \left[ \begin{array}{cc} A & p + Ar_0 \\ p^T + r_0^TA & f(r_0) \end{array} \right].$
Както и в случая на алгебрични криви е в сила
N = V^TMV.
където $V = V(U, r_0) := \left[ \begin{array}{cc} U & r_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \in R^{4x4}.$
Имаме
det(V) = 1
и матрицата V е обратима. Величината
J₄ := det(М) = det(N)
която не е тъждествено постоянна, не се променя при направената смяна, т.е., тя е инварианта на уравнението на повърхнината, съответно на матрицата Л4.

При смяната матрицата А се преобразува в U^TАU, и следователно собствените стойности λ₁, λ₂ и λ₃ на А също са инварианти. Обикновено се работи с други три инварианти, а именно
J₁ := λ₁ + λ₂ = tr(А),
J₂ := λ₁λ₂ + λ₂λ₃ + λ₃λ₁,
J₃ := λ₁λ₂λ₃ = det(А).
Те са коефициентите на характеристичния полином на матрицата А,
det(λI₃ - А) = λ³ - J₁λ² + J₂λ - J₃.

Ще отбележим, че величините J₁, J₂, J₃ и J₄ не са инварианти на кривата, а само на нейното уравнение.
С помощта на транслацията
r = r₁ + r₀, r₁ = [х₁, у₁, z₁]^T
се анулират (когато това е възможно) линейните членове 2р^Tr₁ в уравнението ƒ(х₁, у₁, z₁) = 0 на кониката, а с ротацията r₁ = Uρ - смесените произведения 2а₁₂x₁y₁, 2а₁₃x₁z₁, 2а₂₃y₁z₁.

Повърхнините от втора степен се разделят на три класа (или вида): елиптичен, хиперболичен и параболичен. Видът на повърхнината се определя от квадратичните членове r^TАr, т.е., от матрицата А и по-точно от нейните собствени стойности
λ := λ₁(А), μ := λ₂(А), ν := λ₃(А).

Елиптичен клас

Елиптичният клас, или клас Е, се характеризира с условието, че собствените стойности λ, μ, ν на А са ненулеви и с еднакъв знак. Другояче казано, в този случай или матрицата А, или матрицата -А е положително определена.

Необходимото и достатъчно условие за положителна определеност на матрицата А се дава от критерия на Силвестър
$a_{11} > 0 \textrm{ , } \bigg[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \bigg] = a_{11}a_{22} - a_{12}^2 > 0 \textrm{,} det(A) > 0.$

По-нататък без ограничаване на общността ще приемем, че
λ, μ, ν > 0,
тъй като при λ, μ, ν < 0 след умножаване на уравнението с -1 стигаме до случая с положителни собствени стойности.
Да извършим смяната
r = Uρ + r₀.
След заместване в уравнението на квадриката ƒ(r) = 0 получаваме
ƒ(Uρ + r₀) = ρ^TU^TAUρ + 2(Аr₀ + p)^TUρ + q₁ = 0
където
q₁ := ƒ(r₀) = г^T₀Аr₀ + 2р^Tr₀ + q = q - р^TА^-1р.
За да елиминираме линейния член 2(Аr₀ + р)^TUρ при всяко ρ е необходимо и достатъчно да анулираме вектора Аr₀ + р чрез избор на транслационния вектор r₀, т.е.,
r₀ = -А^-1р
(тук матрицата А е обратима, тъй като собствените й стойности са ненулеви).

Нека изберем ортогоналната матрица U така, че U^TАu да бъде Шур-формата на А, която в случая (поради симетричността на А) е диагонална матрица S с елементи λ, μ, ν по главния диагонал. В резултат стигаме до уравнението
ρ^TSρ + q₁ = λξ² + μη² + νζ² + q₁ = 0.
Тъй като тук
N = diag(λ, μ, ν, q₁)
и
J₄ = det(N) = λμνq₁
то
$q_1 = \frac{J_4}{J_3}.$

За разлика от случая на плоски алгебрични криви, тук не съществува толкова удобен израз за ротацията U, която диагонализира матрицата А. За намиране на U е необходимо да се реши кубичното характеристично уравнение
det(λI₃ - А) = λ³ - J₁λ² + J₂λ - J₃ = 0
на матрицата А. Когато матрицата А е зададена числено, диагонализирането й може да стане с някоя от функциите на диалоговите системи MATLAB или SYSLAB, вж. М. Константинов, П. Петков, Н. Христов: Матрични пресмятания с диалоговата система SYSLAB. Изд. на ВИАС, София 1992.

Вижда се, че ако ρ удовлетворява уравнението на повърхнината, то и -ρ също го удовлетворява. Така изследваната повърхнина е симетрична относно началото O₁ на новата координатна система O₁ξηζ. Такава повърхнина се нарича централна с център началото O₁.

По-нататък за удобство вместо ξ, η, ζ ще използваме отново старите означения х, у, z. Така кривата се записва като
λх² + μу² + νz² + q₁ = 0.
В зависимост от вида на числото q₁ са възможни три случая.

Случай Е1 (същински елипсоид) Този случай се характеризира с неравенството q₁ < 0. След разделяне на двете страни на уравнението с -q₁ получаваме
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
където
$a = \sqrt{\frac{-q_1}{\lambda}} , b=\sqrt{\frac{-q_1}{\mu}}, c = \sqrt{\frac{-q_1}{\nu}}.$
Получената фигура се нарича елипсоид с полуоси а, b, с и център (0, 0, 0). При а = b = с фигурата е сфера с радиус а > 0. Елипсоидът се параметризира чрез рационалните зависимости
$x = a\frac{2u}{u^2 + v^2 + 1} , y = b\frac{2v}{u^2 + v^2 + 1}, z = c\frac{1-u^2-v^2}{u^2 + v^2 + 1}$
където u, v принадлежи R са текущи параметри на точка от повърхнината. Една друга параметризация на елипсоида е
х = аcos φ cos θ,
у = bsin φ cos θ,
z = сcos θ.

Случай Е2 (точка) Този случай се определя от условието q₁ = 0, т.е.,
λx² + μy² + νz² = 0.
Тъй като по предположение λ, μ, ν > 0, то в R³ имаме единствено решение х = у = z = 0. Така повърхнината се свежда то точката (0, 0, 0).
В комплексното пространство С³ този случай отговаря на конус (фигура, съставена от мними прави), които се пресичат в реалната точка (0, 0, 0). Такава е например правата
x√λ = iy√μ, z = 0.

Случай Е3 (празно множество) Този случай се характеризира с неравенството q₁ > 0. Разделяме двете страни на уравнението с q₁ и получаваме
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = -1$
Виждаме, че няма реални тройки (x, у, z), които да удовлетворя-ват уравнението на повърхнината, т.е., тя е празното множество в R³.
В С³ фигурата е имагинерен елипсоид.

Хиперболичен клас

Хиперболичният клас, или клас X, се характеризира с условието, че собствените стойности λ, μ, ν на А са ненулеви и две от тях (например λ и ν) са с различни знаци.

Тъй като и тук матрицата А е неособена, можем да извършим същите преобразувания, както и при елиптичния клас, при което стигаме до уравнението
λx² + μу² + νz² + q₁ = 0
(запазени са означенията от предишния раздел).
В зависимост от вида на числото q₁ и знаците на собствените стойности на А са възможни три случая.

Случай X1 (двулистен хиперболоид) Този случай се характеризира с условието q₁ ≠ 0, като една собствена стойност (например λ) е със знак, противоположен на q₁, а другите две (μ и ν) имат знака на q₁. След разделяне на двете страни на уравнението с -q₁ получаваме
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1$
където
$a = \sqrt{\frac{-q_1}{\lambda}} , b=\sqrt{\frac{-q_1}{\mu}}, c = \sqrt{\frac{-q_1}{\nu}}.$
Получената фигура се нарича двулистен хиперболоид с център (0, 0, 0). Фигурата се състои от две отделни симетрично разположени части с уравнения
$x = \pm a\sqrt{ \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} + 1}$
За точките от фигурата очевидно имаме |х| ≥ а. Точките (± а, 0, 0) са върхове на фигурата. Сеченията на хиперболоида с равнини
х = d, |d| > а,
са елипси. Сеченията с равнини у = d или z = d са хиперболи.
Двулистният хиперболоид се параметризира рационално чрез зависимостите
$x = a\frac{u^2 + v^2 + 1}{u^2 + v^2-1} , y = b\frac{2u}{u^2 + v^2-1}, z = c\frac{2v}{u^2 + v^2-1}, u^2 + v^2 \ne 1.$ В сила е и параметризацията
х = аcosh u,
у = bsinh u cos φ,
z = сsinh u sin φ.

Случай Х2 (еднолистен хиперболоид) Този случай се характеризира с условието q₁ ≠ 0, като две собствени стойности (например λ и μ) е със знак, противоположен на q₁, а другата (т.е., ν) има знака на q₁. След разделяне на двете страни на уравнението с -q₁ получаваме
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1$
където
$a = \sqrt{\frac{-q_1}{\lambda}} , b=\sqrt{\frac{-q_1}{\mu}}, c = \sqrt{\frac{q_1}{\nu}}.$
При а = b = с еднолистният хиперболоид се нарича правилен.
Сеченията на фигурата с равнини z = d са елипси. Най-малката елипса се получава при z = 0. Сеченията с равнините х = d и у = d са хиперболи.
Еднолистният хиперболоид има праволинейни образуващи. За да намерим тези образуващи записваме уравнението на фигурата като
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1-\frac{y^2}{b^2}$
откъдето
$\left( \frac{x}{a} + \frac{z}{c} \right) \left( \frac{x}{a}-\frac{z}{c} \right) = \left( 1 + \frac{y}{b} \right) \left( 1-\frac{y}{b} \right)$
В частност получаваме две семейства l_om и m_τ от образуващи като пресечници съответно на двете двойки равнини
$\left( \frac{x}{a} + \frac{z}{c} \right) = \omega \left( 1 + \frac{y}{b} \right) , \omega \left( \frac{x}{a} - \frac{z}{c} \right) = \left( 1 - \frac{y}{b} \right)$
и
$\left( \frac{x}{a} + \frac{z}{c} \right) = \tau \left( 1 - \frac{y}{b} \right) , \tau \left( \frac{x}{a} - \frac{z}{c} \right) = \left( 1 + \frac{y}{b} \right)$

Случай Х3 (конус) Този случай се характеризира с условието q₁ = 0, при което
λх² + μу² + νz² = 0.
Нека λ, μ > 0 и ν < 0. Тогава уравнението може да се запише като
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 0$
където предварително сме разделили двете страни с λ + μ - ν, т.е.,
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$

Частен случай е кръговият конус, образуван от въртене около апликатната ос на права (образуваща), която пресича тази ос. Полученият конус има уравнение
х² + у² - ω²z² = 0
където ω = tan α и α е ъгълът между образуващата и равнината z = 0.

Ще покажем как кониките могат да се получат от сечения на кръгов конус с равнини.

Сечението на конуса с равнината z = d е окръжност с радиус ω|d|. Ако леко наклоним тази равнина, получаваме елипса. На свой ред хиперболи се получават при пресичане на конуса с равнини х = d или у = d.

Ще покажем как се получава парабола. Нека за простота ω = 1, при което
х² + у² - z² = 0.
Да разгледаме сечението на конуса с равнината х - z + 1 = 0 и да извършим смяната
$x = \frac{x_1-z_1}{sqrt{2}}-\frac{1}{2}, y = y_1, z = \frac{x_1 + z_1}{sqrt{2}} + \frac{1}{2}$
В новите координати х₁, у₁, z₁ получаваме
y²₁ - 2х₁z₁ - x₁√2 = 0
и сечението с равнината z₁ = 0 е параболата у²₁ = х₁√2.

Още древните гърци са разполагали с чисто геометрично доказателство на този забележителен факт.

Параболичен клас

Параболичният клас, или клас П, се характеризира с условието, че поне една от собствените стойности λ, μ, ν на А е нулева. Тъй като сме приели, че матрицата А е ненулева, то не може и трите й собствени стойности да са равни на нула. Така без ограничаване на общността ще приемем, че ν = 0. Предвид уравнението за собствените стойности на А условието за параболичност е еквивалентно на условията
det(А) = 0, А ≠ О
или
J₃ = 0, J²₁ + J²₂ > 0.

Така параболичният клас клас „разделя" елиптичния клас от хиперболичния. Ако отъждествим симетричната матрица А с вектора
[a₁₁, a₂₁, a₃₂, a₂₂, a₃₂, a₃₃] принадлежи R⁶
то параболичният клас отговаря на повърхнина от втора степен в R⁶, която е конус с връх в началото. Конусът на параболичния клас разделя пространството R⁶ на две части: вътрешна (отговаряща на елиптичния клас) и външна (отговаряща на хиперболичния клас).

Да разгледаме първо случая
λμ ≠ 0.
Тъй като тук матрицата А е особена, не можем в общия случай да елиминираме линейния член в уравнението на повърхнината. Затова първо извършваме ротация
r = Ur₁, r₁ = [х₁, у₁, z₁]^T
с матрица U, която привежда матрицата А в диагонална Шур-форма
U^TAU = diag(λ, μ, 0).
Получаваме уравнението
λx²₁ + μy²₁ + 2b₁x₁ + 2b₂y₁ + 2b₃z₁ + q = 0
където
[b₁, b₂, b₃] = p^TU
Наличието на квадратични членове относно х₁ и у₁ позволява да анулираме линейните относно х₁, у₁ членове чрез допълване до точен квадрат. За целта записваме уравнението като
$\lambda \left( x^2_1 + \frac{2b_1}{\lambda}x_1 + \frac{b_1^2}{\lambda^2}-\frac{b_1^2}{\lambda^2} \right)$
$+ \mu \left( y^2_1 + \frac{2b_2}{\mu}y_1 + \frac{b_2^2}{\mu^2}-\frac{b_2^2}{\mu^2} \right) + 2b_3z_1 + q = 0$
и правим смяната
$x_2 = x_1 + \frac{b_1}{\lambda}, y_2 = y_1 + \frac{b_2}{\mu}.$
Получаваме
$\lambda x_2^2 + \mu y_2^2 + 2b_3z_1 + q_2 = 0 , q_2 = q-\frac{b_1^2}{\lambda}-\frac{b_2^2}{\mu}.$
Тъй като тук
$N = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 \\ 0 & 0 & b_3 & q_2 \end{array} \right]$
то
J₄ = det(N) = -λμb²₃.
Като отчетем, че λμ = J₂ получаваме
$b_3 = \pm \sqrt{ -\frac{J_4}{J_2} }.$

По-нататък са възможни няколко случая (по-точно, цели 11(!)). Както и при кривите от втора степен, параболичният клас съдържа повече подслучаи в сравнение с елиптичния и хиперболичния.

Случай П1 (елиптичен параболоид) Този случай е на-лице при
λμ > 0, b₃ ≠ 0.
Тук с транслация по z₁ можем да анулираме свободния член в уравнението. Полагаме
$z_2 = z_1 + \frac{q_2}{2b_3}$ и получаваме
λx²₂ + μy²₂ + 2b₃z₂ = 0.
Делим двете страни на уравнението с 2b₃ и стигаме до
$\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{\beta} = z, \alpha = \frac{2b_3}{\lambda}, \beta = \frac{2b_3}{\mu}$
където вместо x₂, y₂, z₂ отново използваме старите означения x, у, z. Важното в случая е, че числата α и β тук са с еднакви знаци. Така сеченията на фигурата с равнини z = d, са елипси, а с равнини х = d и у = d - параболи. При α = β (т.е. при λ = μ) фигурата е ротационен параболоид.

Случай П2 (хиперболичен параболоид) Това е най- интересната повърхнина. Получава се при същите условия както в случай П1 (и има формално същото уравнение), но с тази разлика, че тук числата λ и μ са с различни знаци. Така можем да напишем
$z = \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}.$

Фигурата наподобява седло, или планински превал (Прочутите пирински „порти", през които минават пътеките между циркусите, дават идея за това какво е хиперболичен параболоид). Има праволинейни образуващи, които пресичат равнината z = 0 или лежат в нея. За построяването им нека запишем уравнението на хиперболичния параболоид като

$z.1 = \left( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} \right)\left( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} \right).$
Оттук получаваме първо семейство образуващи l_ω, определени от
$z = \omega \left( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} \right), 1 = \frac{1}{\omega} \left( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} \right)$
както и второ семейство образуващи k_ω, определени от
$z = \omega \left( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} \right), 1 = \frac{1}{\omega} \left( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} \right)$
Равнините z = d ≠ 0 пресичат фигурата по хиперболи, а равнината z = 0 - по двойка пресичащи се прави. Равнините х = d и у = с пресичат хиперболичния параболоид по параболи. Равнините x = 0 и у = 0 са равнини на симетрия на фигурата.
Останалите девет случая на параболичния клас са цилиндри (в уравнението не участват всичките три променливи).
Да разгледаме първо случая λμ ≠ 0 и b₃ = 0. Имаме уравнението
λx² + μу² + q₁ = 0
където сме използвали старите означения х, у вместо x₂, y₂

Случай П3 (елиптичен цилиндър) Този случай (отговарящ на същинска елипса в равнината) се характеризира с условието, че λ и μ са с еднакъв знак, а q₁ ≠ 0 е с противоположен знак. След разделяне с -q₁ получаваме
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1.$
Фигурата е цилиндър с основа елипса и ос, съвпадаща с апликатната ос.

Случай П4 (права) Този случай се определя от условията λμ > 0 и q₁ = 0. Единственото решение на уравнението тук е х = у = 0. Тъй като върху z няма ограничения, фигурата съвпада с апликатната ос. В комплексния случай фигурата е имагинерен конус.

Случай П5 (празно множество) Тук числата λ, μ, q₁ са ненулеви и с еднакъв знак. Уравнението няма реални решения, т.е., фигурата е празното множество в R³. В С³ фигурата е имагинерен цилиндър.

Случай П6 (хиперболичен цилиндър) Характеризира се условията λμ < 0 и q₁ ≠ 0, например
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1.$
Фигурата се състои от две хиперболични стени, съответстващи на двата клона на хиперболата.

Случай П7 (двойка пресичащи се равнини) Тук имаме λμ < 0 и q₁ = 0. Уравнението (при λ > 0 и μ < 0)
λx² + μy² = (x√λ) - у√-μ)(х√λ) + у√-μ) = 0
описва две пресичащи се равнини, успоредни на апликатната ос.

Последните четири случая се получават когато А има две нулеви собствени стойности, например λ ≠ 0 и μ = ν = 0. Тук след ротация получаваме уравнението
λx²₁ + 2b₁x₁ + 2b₂y₁ + 2b₃z₁ + q = 0.
След транслация по x₁ анулираме линейния член по x₁:
λx²₁ + 2b₂у₁ + 2b₃z₁ + q₃ = 0.

Случай П8 (параболичен цилиндър) Фигурата се характеризира с условието
b² := b²₂ + b²₃ > 0.
Правим ротация в равнината Оу₁z₁ от вида
$y_2 = \frac{b_2}{b}y_1 + \frac{b_3}{b}z_1$
$z_2 = \frac{b_2}{b}y_1-\frac{b_3}{b}z_1$
и получаваме
λx²₁ + 2bу₂ + q₃ = 0.
След транслация по у₂ за анулиране на свободния член q₃ и разделяне с λ получаваме (в старите променливи) каноничното уравнение
х² + 2ру = 0.
Фигурата се състои от една параболична стена, перпендикуляр-на на равнината Оху.

Случай П9 (двойка успоредни равнини) Тук фигурата се определя от условията b = 0 и λq₁ < 0. След разделяне с λ получаваме
$x^2 = -\frac{q_1}{\lambda} > 0$
и
$x = \pm \sqrt { -\frac{q_1}{\lambda} }$
Това са уравненията на две равнини, перпендикулярни на абсцисната ос.

Случай П10 (двойна равнина) Този случай отговаря на b = 0 и q₁ = 0. Имаме
х² = 0
което е уравнението на два съвпадащи екземпляра на равнината Оуz. В С³ фигурата е имагинерен конус.

Случай П11 (празно множество) Тук имаме b = 0 и q₁ > 0. Така фигурата е празното множество в R³. В С³ имаме двойка успоредни имагинерни равнини.

Упражнения

1 Начертайте фигурите от класове Е1, Е2, X1, Х2, Х3, П1, П2, П3, П4, П6, П7, П8, П9 и П10.

2 Определете вида на повърнината
(u^Tr)² + (v^Tr)² + (w^Tr)² = 1
където u, v, w принадлежи R³, в зависимост това дали детерминантата с1е1;[и, и,и>] е равна на нула или различна от нула.

3 Докажете, че равнина не може да пресича елиптичен параболоид по хиперболи, а хиперболичен параболоид - по елипси.

4 Реални праволинейни образуващи имат конусите, цилиндрите, еднолистните хиперболоиди и хиперболичните параболоиди. Обаче праволинейни, но имагинерни образуващи могат да имат и други повърхнини от втори ред. Намерете имагинерните образуващи на елипсоида
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

5 Определете вида и намерете образуващите на повърхнината z = ху.

6 Намерете уравнението на повърхнина, образувана от правите, успоредни на дадена равнина и пресичащи две зададени кръстосани прави.

7 Намерете уравнението на повърхнина, образувана от правите, пресичащи три зададени неуспоредни и непресичащи се прави.

8 Нека са дадени две повърхнини от втора степен с уравнения
ƒ(r) = 0, g(r) = 0, r = (х, у, z)
и точка r₀ принадлежи R³. Намерете уравнението на повърхнина от втора степен, съдържаща точката го и пресечницата на двете повърхнини. Кога тази повърхнина се разпада на двойка равнини?

9 Дефинирайте частни производни ƒ_xƒ_yƒ_z на полином ƒ на три променливи х, у, z.

10 Нека ƒ(x₀, y₀, z₀) = 0, където ƒ е полином на три променливи. Равнината с уравнение
(x - x₀)ƒ_x(x₀, y₀, z₀) + (у - y₀)ƒ_y(x₀, y₀, z₀) + (z - z₀)ƒ_z(x₀, y₀, z₀) = 0
се нарича допирателна към повърхнината с уравнение ƒ(x, у, z) = 0 в точката (x₀, y₀, z₀). Намерете допирателните равнини към елипсоида, хиперболоидите и параболоидите, описани в тази глава.

11 Канонизирайте повърхнините
16x² + 9у² - z² - 24xу - 9x - 12у + 4z + 71 = 0,
-x² - 9у² + бxу + 50x - 50у - 15z - 100 = 0,
5x² + 8у² + 4xу + 2x + 44у - 36z + 65 = 0,
(x + у + z)(х - у + z) - (2x - у + 2z)² = 1.

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,
проф. д-р Михаил Константинов

Алгебрични и плоски криви. Криви от втора степен
Класификация и канонизация на кривите от втора степен.
Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен
Класификация и канонизация на повърхнините от втора степен.
Повърхнини в многомерното пространство. Повърхнини от втора степен.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: