Нека да сме благодарни на проф. д-р Михаил Константинов за разрешението да четем курса в math10.com.

Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен

В тази глава се разглеждат някои въпроси от теорията на алгебричните повърхнини и в частност на повърхнините от втора степен.

Полиноми на три променливи

Реален полином (или многочлен) на три променливи ще наричаме израз от вида
$f(x,y,z) := \sum_{i,j,k=0}^{m,n,p}a_{ijk}x^iy^jz^k$ (1)
= а₀₀₀ + а₁₀₀х + а₀₁₀у + a₀₀₁z + а₂₀₀х² + а₁₁₀ху
+ a₁₀₁хz + а₀₂₀y² + а₀₁₁уz + а₀₀₂z² + ....
където a_ijk са реални коефициенти, а х,у и z са реални променливи. Разбира се, в (1) някои от коефициентите могат да са нулеви. Съгласно това определение полиномът е сума от мономи (или едночлени) а_ijkхⁱу^jz^k.

Аналогично се дефинира комплексен полином на три променливи, както и полином на три променливи над произволно поле.

Полиномът ƒ може да се разглежда и като функция R³ -> R, която на всяка наредена тройка (x, у, х) принадлежи R³ съпоставя числото ƒ(х, у, z) R.

Степен на полинома (1) ще наричаме числото
deg(ƒ) := max {i + j + k : a_ijk ≠ 0}.
Ако всички коефициенти а_ijk са нулеви, полиномът се нарича нулев, означава се с 0 и му се приписва степен -∞.

Пример 1 Всеки полином на три променливи от втора степен може да се запише във вида
q + 2р₁х + 2р₂у + 2р₃z + а₁₁х² + 2а₁₂ху + 2а₁₃хz + а₂₂у² + 2а₂₃уz + а₃₃z²
или с използване на векторно-матрични означения
q + 2р^Tr + r^TАr, А ≠ 0
където q принадлежи R, р = [p_i] R³ и А = [а_ij] R^3x3, а_ij = а_ji, а r = [х, у, z]^T R³ е векторът на променливите.

Полиномите ƒ от степен deg(ƒ) > 1 се наричат нетривиални.
Полиномът (1) се нарича приводим (над R), ако съществуват два нетривиални полинома g, h, такива че
ƒ(x, у, z) = g(х, у, z)h(х, у, z).
Полином, който не е приводим, се нарича неприводим. В частност полиномите от нулева и първа степен са неприводими.

Следователно полиномът ƒ от степен deg(ƒ) ≥ 2 е приводим, ако се разлага в произведение от нетривиални множители. Когато даден полином ƒ се представя като произведение на множителите g и h, то
deg(ƒ) = deg(g) + deg(h).

Всеки нетривиален ƒ полином може да се представи като произведение от степени на неприводими полиноми:
ƒ(х, у, z) = ƒ^k¹₁(х, у, z)ƒ^k²₂(х, у, z)....ƒ^{k^m}_m(х, у, z).
Тук k_i ≥ 1 са кратностите, с които участват в произведението неприводимите полиноми ƒ_i, такива че ƒ_i ≠ cƒj при i ≠ j, където с е реална ненулева константа. Това представяне е единствено, ако се условим да не различаваме два полинома в случай, че единият се получава от другия чрез умножаване с ненулева константа.

Алгебрични повърхнини

Тройката (х₀, у,₀, z₀) принадлежи R³ се нарича нула на полинома ƒ, ако
ƒ(x₀, y₀, z₀) = 0.
Така нулите на един полином на три променливи са точки в пространството R³.

Множеството от нули
Γ(ƒ) := {(х, у, z) принадлежи R³ : ƒ(х, у, z) = 0} ⊂ R³
на полинома ƒ се нарича алгебрична повърхнина, асоциирана, или свързана с ƒ. В този случай зависимостта
ƒ(х, у, z) = 0
се нарича уравнение на повърхнината. Понякога за краткост самото уравнение
ƒ(х, у, z) = 0
(записвано и като ƒ(x, у, z) = с, където с е реална константа) се нарича алгебрична повърхнина. Степента на полинома ƒ е също степен на алгебричната повърхнина Γ(ƒ).

Алгебричната повърхнина Γ(ƒ) се нарича приводима (респ. неприводима), ако полиномът ƒ е приводим (респ. неприводим).

Имаме Γ(0) = R³ и Γ(с) = ∅ 0 ≠ с принадлежи R. Тези случаи не са интересни и поради това по-нататък ще разглеждаме само повърхнини, асоциирани с нетривиални полиноми.

Повърхнините от първа степен са равнините. Общото уравнение на всяка равнина γ ⊂ R³ може да се запише като
ах + bу + сz + d = 0
където а, b и с не са едновременно нули. Следователно можем да приемем, че
а² + b² + с² = 1.

Когато равнината не е успоредна на апликатната ос Оx (това е случаят когато с ≠ 0), уравнението й може да се запише като
$z = kx + ly + m = -\frac{a}{c}x-\frac{b}{c}-\frac{d}{c}.$
Нека (x₀, y₀, z₀) е точка от равнината γ, т.е.,
ах₀о + bу₀ + сz₀ + d = 0.
Тогава уравнението на равнината може да се запише като
а(х - x₀) + b(у - у₀) + c(z - z₀) = 0.

Ако се въведе вектора v := [а, b, с]^T принадлежи R³, то имаме
v^T(r - r₀) = 0
където
r := (х, у, z), r₀ = (х₀, y₀, z₀).
Векторът v се нарича нормален вектор на равнината защото той е перпендикулярен на всеки вектор r - r₀, лежащ в равнината.

И накрая, уравнението на равнината може да се запише в параметрична форма
r = r(t) = r₁t₁ + r₂t₂ + r₀ = Rt + r₀
където r₁,r₂ принадлежи R³ са ненулеви вектори, перпендикулярни на нормалния вектор v, и
R := [r₁, r₂] R^3x2, t = [t₁, t₂] R².

Векторната променлива t е параметър на равнината. На всяка стойност на t съответства определено положение на изобразяващата точка r(t). Така при t = 0 изобразяващата точка се намира в положение r₀.

Права линия, или съкратено права в R³ се дефинира като пресечницата на две неуспоредни равнини, например
v^T_i(r - r_i), i = 1,2,
където rank[v₁, v₂] = 2.
Удобно е правата да се определи и параметрично, например
r = r(t) = сt + r₀, t принадлежи R
където 0 ≠ c R³ направляващ вектор, а t е параметър на правата, който се интерпретира като „време".

Две алгебрични повърхнини се наричат еквивалентни, ако едната може да се получи от другата чрез транслация и ротация, т.е., чрез трансформацията
r = Uρ + r₀
където
r:= [х, у, z]^T, ρ:= [ξ, η, ζ]^T.
Тук r₀ = [x₀, y₀, z₀]^T е транслационният вектор, а U принадлежи R^3x3 е ортогонална матрица (U^TU = I₃). Така например всички прави в пространството са еквивалентни, всички равнини са еквивалентни, всички сфери с даден радиус са еквивалентни, и т.н.

С всяка алгебрична повърхнина Γ ⊂ R³ можем да асоциираме едно множество [Γ] ⊂ R³, което се състои от всички повърхнини, еквивалентни на Γ. Това множество се нарича класа на еквивалентност (асоцииран с Г). Вс клас на еквивалентност се характеризира с минимален брой параметри, с помощта на които уравнението на повърхнината се записва в простен (или каноничен) вид.

Пресечницата (или сечението)
Δ := Γ₁ ∩ Γ₂
на две алгебрични повърхнини Γ₁, Γ₂ ⊂ R³ в общо положение е по принцип едномерен геометричен обект (положението на произволна точка от Δ се определя с помощта на един параметър), който се нарича алгебрична линия (в пространството).

Пример 2 Повърхнината:
1. х² + у² + z² = 1 е единичната сфера, т.е., сферата с център в точката (0, 0, 0) и с радиус 1;
2. х² + у² + z² = 0 е точката (0, 0, 0);
3. х² + у² + z² = -1 е празното множество ∅;
4. ху + 2х - у - 2 = 0 се разпада на две перпендикулярни равнини х = 1 и у = -2;

Пример 3 Да разгледаме взаимното положение на сферата (х - х_c)² + (у - у_c)² + (z - z_c)² = δ², δ > 0
с център r_c := (х_c, у_c, z_c) и радиус δ и правата
х = аt + x₀, у = bt + y₀, z = ct + z₀, t принадлежи R
като ще считаме, че а² + b² + c² = 1. Ще отбележим, че уравнението на сферата може да се запише компактно като
|r - r_c| = δ.
След заместване на параметричните зависимости на правата в уравнението на сферата получаваме квадратно уравнение за t:
t² + 2αt + β² - δ² = 0
където
α := а(х₀ - х_c) + b(у₀ - у_c) + c(z₀ - z_c),
β² := (x₀ -х_c)² + (у₀ - y_c)² + (z₀ - z_c)².
Корените на уравнението са
t_1,2 = α ± √α² + δ² - β².

Следователно:
- при α² + δ² > β² правата пресича сферата в две точки (х₁, y₁, z₁) И (x₂, y₂, z₂), където
x_i = аt_i + x₀, y_i = bt_i + y₀, z_i = ct_i + z₀;
- при α² + δ² = β² правата се допира до сферата в точката (х₁, y₁, z₁), където
х₁ = аt₁ + х₀, у₁ = bt₁ + у₀, z₁ = сt₁ + z₀, t₁ = -α
- при α² + δ² ≤ β² правата не пресича сферата.

Приводимата повърхнина Γ(ƒ), съответстваща на полинома ƒ = gh, се разпада на две компоненти Γ(g) и Γ(h):
Γ(ƒ) = Γ(g) ∪ Γ(h).
Така всяка крива Γ(ƒ) може да се разложи на неприводими компоненти
Γ(ƒ) = Γ(ƒ₁) ∪ Γ(ƒ₂) ∪ .... ∪ Γ(ƒ_m)
съответно с разлагането на полинома
ƒ = ƒ^k₁₁ƒ^k₂₂....ƒ^k_m_m
на степени на неприводимите множители ƒ₁, ƒ₂,..., ƒ_m.

Възможно е една повърхнина да е неприводима, но да се разпада на отделни клонове, представляващи непресичащи се множества в R³. Такава повърхнина е например двулистният хиперболоид.

Повърхнината Γ(ƒ) се нарича рационална, ако съществуват три рационални функции φ, ψ, ω на два аргумента, поне една от които не е постоянна, и такива че
ƒ(φ(u, v), ψ(u, v), ω(u, v)) = 0, (u, v) принадлежи R²\Ω,
където Ω, е множеството от нули на знаменателите на φ, ψ или ω. Ще напомним, че една функция е рационална, ако тя може да се представи като отношение на два полинома.

Ако повърхнината Γ(/) е рационална, то зависимостите
х = φ(u, v), у = ψ(u, v), z = ω(u, v), (u,v) принадлежи R²\Ω
представляват рационална параметризация на повърхнината Γ(ƒ).

Пример 4 Кубичната повърхнина z² = х² + у³ съдържа точката (0, 0, 0) и се рационализира чрез полагането х = uу, z = uу. След заместване на тези две зависимости в уравнението на повърхнината получаваме v² = u² + у, откъдето следва рационалната параметризация
х = u(v² - u²), у = v² - u², z = v(v² - u²).
Очевидно равнините са рационални повърхнини. Лесно се вижда, че и сферите са рационални.

Пример 5 Сферата
х² + у² + z² = 1
се рационализира чрез полагането
х = ut, у = vt, z = t - 1.
Оттук получаваме
$t = \frac{2}{u^2+v^2+1}$
и търсената рационална параметризация добива вида
$x = \frac{2u}{u^2+v^2+1}, y = \frac{2v}{u^2+v^2+1}, z = \frac{1-u^2-v^2}{u^2+v^2+1}.$

Може да се покаже, че изобщо повърхнините от втора степен са рационални. Доказателството е аналогично на случая на криви от втора степен.

Да разгледаме сега по-подробно повърхнините от втора степен, описвани от уравнението
ƒ(x, у, z) = 0,
където ƒ е полином от втора степен. Тези повърхнини се наричат още квадрики.

Да въведем векторната променлива
r = [х, у, z]^T принадлежи R³
и да положим
$p := \left[ \begin{array}{ccc} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array} \right] \in R^3 \textrm{ , } A := \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{array} \right] \in R^{3x3}.$
Тогава уравнението на квадриката Γ(ƒ) може да се запише във вида
ƒ(x, у, z) = r^TАr + 2р^Tr + q = 0.
Ще напомним, че с (х, у, z) означаваме както точка от пространството с координати х, у, z, така и вектора r = [х, у, z]^T предвид взаимно-еднозначното съответствие между точките в равнината с избрана декартова координатна система Охуz и векторите с начало в точката О.

Упражнения

1 Разложете на множители g, h полинома
ƒ(х, у, z) := х³ + х²у - х²z - у² + х + у - z
и постройте приводимата повърхнина Γ(ƒ) = Γ(g) ∪ Γ(h).

2 Изследвайте взаимното разположение на сферата
х² + у² + z² - 2у = 0
и правата
у = kх, z = mх
в зависимост от стойностите на параметрите k и m.

3 Намерете рационална параметризация на повърхнината
х² - 2ху + Зу² + уz - 4у + 1 = 0.

4 Намерете рационална параметризация на повърхнината
x³ + xу² - xу + z³ + x² + у² + xу - z² = 0.

5 Докажете, че квадриките са рационални повърхнини.

6 Намерете уравнението на права, минаваща през зададена точка и перпендикулярна на зададена равнина.

7 Намерете уравнението на равнина, минаваща през зададена точка и перпендикулярна на зададена права.

8 Намерете уравнението на равнина, минаваща през зададена точка и успоредна на две зададени (неуспоредни) прави.

9 Напишете алгоритъм за намиране на пресечната точка на равнината v^T(r - r₀) = 0 и правата r = сt + r₁ и опишете възможните изходи от този алгоритъм.

10 Дадена е равнина γ и две точки r₀ и r₁, нележащи в γ и разположени от едната й страна. Светлинен лъч от r₁ се отразява от γ и минава през r₂. Намерете уравненията на падащия и отразения лъч.

11 Намерете уравнението на равнина, равноотдалечена от две кръстосани прави.

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,
проф. д-р Михаил Константинов

Алгебрични и плоски криви. Криви от втора степен
Класификация и канонизация на кривите от втора степен.
Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен
Класификация и канонизация на повърхнините от втора степен.
Повърхнини в многомерното пространство. Повърхнини от втора степен.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на:

Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен

Полиноми на три променливи

Алгебрични повърхнини

Упражнения

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,проф. д-р Михаил Константинов

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,
проф. д-р Михаил Константинов