Нека да сме благодарни на проф. д-р Михаил Константинов за разрешението да четем курса в math10.com.

Класификация и канонизация на кривите от втора степен

Уводни бележки

В тази глава ще разгледаме въпросите за класификация на кривите от втора степен
ƒ(x,у) = ƒ(r) := r^TАr + 2р^Tr + q = 0 (7)
където
$r := \left[ \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right] \textrm{ , } p := \left[\begin{array}{cc} p_1 \\ p_2 \end{array} \right] \textrm{ , } A := \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right]$
и за опростяване (канонизиране) на уравненията им. Това опростяване се прави чрез подходяща смяна на променливите, включваща транслации и ротации:
r = Uρ + r₀
където ρ := [ξ,η]^T е нова векторна променлива, r₀ := [x₀,у₀] е постоянен вектор и U принадлежи R^2x2 е ортогонална матрица, т.е.
U^TU = I₂.
Ще напомним, че ортогоналните 2x2 матрици се свеждат до един от следните два типа:
- чисти ротации (на ъгъл φ)
$U = \left[ \begin{array}{cc} \textrm{ cos }\phi & -\textrm{ sin }\phi \\ \textrm{ sin }\phi & \textrm{ cos }\phi \end{array} \right]$
- отражения
$U = \left[ \begin{array}{cc} \textrm{ cos }\phi & \textrm{ sin }\phi \\ \textrm{ sin }\phi & -\textrm{ cos }\phi \end{array} \right].$

С помощта на транслацията
r = r₁ + r₀, r₁ = [x₁,у₁]^T
където r₁ е нова векторна променлива, се анулират (доколкото това е възможно) линейните членове 2р^Tr₁ в уравнението ƒ(х₁,у₁) = 0 на кониката, а с ротацията r₁ = Uρ се анулира смесеното произведение 2а₁₂x₁у₁ в случай, че а₁₂ ≠ 0.

Кривите от втора степен се разделят на три класа (или вида): елиптичен, хиперболичен и параболичен. Видът на кривата се определя от квадратичните членове r^T Аr, т.е., от матрицата А и по-точно от нейните собствени стойности
λ := λ₁(А), μ := λ₂(А).

Елиптичен клас

Елиптичният клас, или клас Е, се характеризира с условието, че собствените стойности λ, μ на А са ненулеви и с еднакъв знак, т.е.,
λμ > 0.
Като вземем предвид уравнението за собствените стойности на А виждаме, че условието за елиптичност е
λμ = a₁₁a₂₂ - a²₁₂ > 0
което е еквивалентно на неравенството
a₁₁a₂₂ > a²₁₂.

По-нататък без ограничаване на общността ще приемем, че
λ,μ > 0
тъй като при λ, μ < 0 след умножаване на уравнението с -1 стигаме до случая с положителни собствени стойности.

Да извършим смяната
r = Uρ + r₀.
След заместване в уравнението на кониката (1) получаваме
ƒ(Uρ + r₀) = ρ^TU^TАUρ + 2(Аr₀ + p)^TUρ + q₁ = 0 (2)
където
q₁ := ƒ(r₀) = г^T₀Аr₀ + 2р^Tr₀ + q = q - р^TА^-1p.

Интересно е да се отбележи, че при тази смяна матрицата М, определена в (6), се трансформира в
$N = \left[ \begin{array}{cc} A & p + Ar_0 \\ p^T + r_0^TA & f(r_0) \end{array} \right].$
Непосредствено се проверява, че
N = V^TМV.
където
$V = V(U, r_0) := \left[ \begin{array}{cc} U & r_0 \\ 0 & 1 \end{array} \right].$
Имаме
det(V) = det(U).1 = 1
и в частност V е обратима матрица. Следователно величината
J₃ := det(М) = det(N)
която не е тъждествено постоянна, не се променя при направената смяна, включваща транслации и ротации в R². Такива величини се наричат инварианти на уравнението на кривата, съответно на матрицата М.

Тъй като при смяната матрицата А се преобразува в U^TAU, то и собствените стойности λ₁ и λ₂ на А също са инварианти (поради симетрията на А нейните собствени стойности са реални). На практика се работи с други две инварианти, а именно
J₁ := λ₁ + λ₂ = tr(A),
J₂ := λ₁λ₂ = det(А).
Това са коефициентите на характеристичния полином на матрицата А,
det(λI₂ - А) = λ² - J₁λ + J₂ = 0.

Ще отбележим, че величините J₁, J₂ и J₃ не са инварианти на кривата, а само на нейното уравнение. Действително, ако умножим уравнението ƒ(r) = 0 с ненулевата константа κ, то новото уравнение κƒ(r) = 0 описва същата крива, но инвариантите му вече са κJ₁, κ²J₂ и κ³J₃ съответно.

Да преминем сега към опростяване на уравнението на кониката. За да елиминираме линейния член
2(Аr₀ + р)^TUρ
в уравнението (2) при всяко ρ е необходимо и достатъчно да анулираме вектора Аr₀ + р чрез подходящ избор на транслационния вектор r₀. Това дава
r₀ = -A^-1р.
Ще отбележим, че тук матрицата А е обратима, тъй като собствените й стойности са ненулеви.

Нека освен това изберем ортогоналната матрица U така, че U^TAU да бъде Шур-формата на А, която в случая (поради симетричността на А) е диагонална матрица S с елементи λ, μ по главния диагонал. В резултат стигаме до уравнението
ρ^TSρ + q₁ = λξ² + μη² + q₁ = 0.
Оттук впрочем следва, че N = diag(λ, μ, q₁) и
J₃ = det(N) = λμq₁.
Оттук
$q_1 = \frac{J_3}{\lambda \mu} = \frac{J_3}{J_2}$

За удобство на читателя ще укажем как най-лесно може да се построи ротацията U в случай, че a₁₂ ≠ 0. За целта е необходимо да се намери собствената структура на А, тъй като стълбовете на U са нормираните собствени вектори на А. Пресмятаме собствените стойности на А от характеристичното уравнение
z² - (a₁₁ + a₂₂)z + a₁₁a₂₂ - а²₁₂ = 0
и получаваме
$\lambda , \mu = \frac{a_{11} + a_{22} \pm \sqrt{(a_{11}-a_{22})^2 + 4a_{12}^2}}{2}$
Пресмятаме първия стълб u = [с, s]^T на ротацията U като нормиран собствен вектор (с² + s² = 1) на матрицата А, съответстващ на собствената стойност λ, т.е., Au = λu. Получаваме
$c = \frac{a_{12}}{\sqrt{a_{12}^2 + (\lambda-a_{11})^2}}, s = \frac{\lambda -a_{11}}{\sqrt{a_{12}^2 + (\lambda-a_{11})^2}}$
Вторият стълб на U може да се определи аналогично като нормиран собствен вектор, съответстващ на μ, но по-просто е направо да напишем
$U = \left[ \begin{array}{cc} c & -s \\ s & c \end{array} \right].$
Вижда се, че ако ρ удовлетворява уравнението на кривата, то и -ρ също го удовлетворява. Така получената крива е симетрична относно началото O₁ на новата координатна система О₁ξη. Такава крива се нарича централна с център началото О₁.

По-нататък за удобство вместо ξ, η ще използваме отново старите означения х, у. Така кривата се записва като
λx² + μy² + q₁ = 0.
В зависимост от числото q₁ са възможни три случая.

Случай Е1 (същинска елипса) Този случай се характеризира с условието q₁ < 0. След разделяне на двете страни на уравнението с -q₁ получаваме
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
където
$a = \sqrt{\frac{-q_1}{\lambda}} , b=\sqrt{\frac{-q_1}{\mu}}$
Получената фигура се нарича елипса с полуоси а и b и център (0,0). Тук величините а и b са инварианти не само на уравнението, но и на кривата.

При а = b фигурата е окръжност с радиус а > 0.
Елипсата се параметризира чрез зависимостите
x = аcos φ , у = bsin φ
където φ принадлежи [0, 2π) е параметър на кривата. Една рационална параметризация на елипсата се дава от
$x = a\frac{2u}{1 + u^2} , y = b\frac{1-u^2}{1 + u^2}$
където u R е параметър на кривата.

Случай Е2 (точка) Този случай се определя от условието q₁ = 0, при което
λx² + μy² = 0.
Тъй като по предположение λ, μ > 0, то в R² имаме единствено решение х = у = 0. Така кривата се свежда то точката (0,0).
В комплексната равнина C² този случай отговаря на двойка мними прави
х√λ = ± iy√μ
които се пресичат в реалната точка (0,0).

Случай Е3 (празно множество) Този случай се характеризира с неравенството q₁ > 0. Разделяме двете страни на уравнението с q₁ и получаваме уравнение от вида
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$
Тук няма реални двойки (x,у), които да удовлетворяват уравнението на кривата, т.е., тя е празното множество в R².
В C² фигурата е мнима елипса. Действително, в този случай имаме
х = iξ, у = iη
където (ξ, η) е точка от реалната елипса
$\frac{\xi^2}{a^2} + \frac{\eta^2}{b^2} = 1$

Хиперболичен клас

Хиперболичният клас, или клас X, се характеризира с условието, че собствените стойности λ, μ на А са ненулеви и с различни знаци, т.е., λμ < 0. Предвид уравнението за собствените стойности на А условието за хиперболичност добива вида
λμ = a₁₁a₂₂ - ²₁₂ < 0
което е еквивалентно на неравенството
a₁₁a₂₂ < a²₁₂
Без ограничаване на общността ще приемем, че
λ > 0, μ < 0
тъй като в противен случай след умножаване на уравнението с -1 стигаме до описания случай.

Тъй като и тук матрицата А е неособена, можем да извършим същите преобразувания, както и при елиптичния клас, при което добиваме уравнението
λx² + μy² + q₁ = 0.
В зависимост от числото q₁ са възможни два случая.

Случай X1 (същинска хипербола) Този случай се характеризира с условието q₁ ≠ 0. Нека например q₁ < 0. След разделяне на двете страни на уравнението с -q₁ получаваме
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$
където
$a = \sqrt{\frac{-q_1}{\lambda}} , b=\sqrt{\frac{-q_1}{\mu}}$
Получената фигура се нарича хипербола с център (0,0). Хиперболата се състои от два клона и има асимптоти с уравнения bх = ±ау.
Случаят q₁ > 0 се свежда до разгледания като разменим местата на х и у:
$-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$
Хиперболата се параметризира чрез зависимостите
х = аcosh φ, у = bsinh φ
където φ принадлежи R е параметър на кривата. Една рационална параметризация на хиперболата е
$x = a\frac{u^2+1}{u^2-1} , y = b\frac{2u}{u^2-1}, u \ne \pm 1$

Случай Х2 (двойка пресичащи се прави) Този случай се получава при q₁ = 0, т.е.,
λх² + μу² = 0.
Тъй като сме приели, че λ > 0 и μ < 0, получаваме
(x√λ + y√-μ) (х√λ - у√-μ) = 0.
Следователно кривата е приводима и се разпада на две пресичащи се прави
x√λ = ±y√-μ.

Параболичен клас

Параболичният клас, или клас Π, се характеризира с условието, че поне една от собствените стойности λ, μ на А е нулева. Тъй като сме приели, че матрицата А е ненулева, то не е възможно и двете й собствени стойност да са равни на нула. Така без ограничаване на общността ще приемем, че λ ≠ 0 и μ = 0. Предвид уравнението за собствените стойности на А условието за параболичност е
λμ = a₁₁а₂₂ - a²₁₂ = 0
което е еквивалентно на равенството
a₁₁₂₂ = a²₁₂.

Така параболичният клас „разделя" елиптичния клас от хиперболичния. Ако отъждествим симетричната матрица А с вектора [а₁₁, а₂₂, a₁₂]^T = [u, v, w]^T принадлежи R³, то параболичният клас отговаря на повърхнината от втора степен uv = w², която се оказва конус с връх в началото и ос правата u = v, w = 0 (вж. следващата глава). Конусът на параболичния клас разделя пространството R³ на две части: вътрешна uv > w² (отговаряща на елиптичния клас) и външна uv < w² (отговаряща на хиперболичния клас).

Тъй като тук матрицата А е особена, не можем в общия случай да елиминираме линейния член в уравнението на кониката. Затова първо извършваме ротация
r = Ur₁, r₁ = [x₁, y₁]^T
с матрица U, която привежда матрицата А в диагонална форма на Шур
U^TAU = diag(λ,0).
Получаваме уравнението
λx²₁ + 2s₁x₁ + 2s₂y₁ + q = 0
където [s₁,s₂] := р^TU. Наличието на квадратичен член относно x₁ позволява да анулираме линейния относно х₁ член чрез допълване до точен квадрат. За целта записваме уравнението като
$\lambda \left( x^{2}_1 + \frac{2s_1}{\lambda}x_1 + \frac{s^{2}_1}{\lambda^2}-\frac{s^{2}_1}{\lambda^2} \right) + 2s_2y_1 + q = 0$
и правим смяната
$x_2 = x_1 + \frac{s_1}{\lambda}.$
Получаваме
$\lambda x^{2}_2 + 2s_2y_1 + q_2 = 0, q_2 = q-\frac{s^{2}_1}{\lambda}.$

Тук
$N = \left[ \begin{array}{ccc} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_2 \\ 0 & s_2 & q_2 \end{array} \right]$
откъдето
J₃ = det(N) = -λs²₂.
Тъй като в този случай J₁ = λ, то имаме
$s_2 = \pm \sqrt{-\frac{J_3}{J_1}}$

Тук са възможни няколко случая (по-точно, четири). Изобщо, параболичният клас съдържа повече подслучаи в сравнение с елиптичния и хиперболичния.

Случай П1 (същинска парабола) Този случай е налице при s₂ ≠ 0. Тук с транслация по у₁ можем да анулираме свободния член в уравнението. Полагаме
$y_2 = y_1 + \frac{q_2}{2s_2}$
и получаваме
λx²₂ + 2s₂y₂ = 0.
Делим двете страни на уравнението с λ и стигаме до
x² + 2sy = 0, $s = \frac{2s_2}{\lambda}$
където вместо х₂, y₂ отново използваме старите означения x, у.
Останалите три случая на параболичния клас се получават при s₂ = 0, т.е., при J₃ = 0. Ако означим d = -q₂λ, то при s₂ = 0 имаме
х² = d,
където сме използвали старото означение х вместо х₂.

Случай П2 (две успоредни прави) Този случай се характеризира с условието d > 0. Тук имаме две успоредни прави
х = ± √d.

Случай ПЗ (двойна права) Този случай се получава при d = 0. Геометрически кониката тук се редуцира до една права х = 0, която обаче е двойна, тъй като уравнението й е
х² = 0.
С други думи кониката тук е приводима със съвпадащи неприводими компоненти. Двойната права може да се разглежда и като гранично положение на правите от случай П2 при d -> +0.

Случай П4 (празно множество) Тук имаме d < 0 и в реалната равнина R² кониката е празното множество. В комплексната равнина този случай съответства на две успоредни мними прави
х = ±i√-d.

Упражнения

1 Начертайте фигурите от класове Е1, Е2, X1, Х2, П1, П2 и П3.

2 Покажете, че всяка права се пресича с дадена същинска коника в не повече от две точки. Като използвате този резултат покажете, че ако права пресича коника в три точки, то кониката се разпада на двойка прави.

3 Покажете, че всеки пет точки в равнината определят единствена коника, която ги съдържа. Еквивалентното твърдение е, че ако две коники имат пет общи точки, то те съвпадат.

4 Покажете, че ако крива от трета степен Γ₃ с уравнение
ƒ₃(x, у) = 0
и коника Γ₂ с уравнение
ƒ₂(х, у) = 0
имат седем общи точки, то кривата Γ₃ е приводима като се разпада на (поне) две компоненти: кониката Γ₂ и някаква права,
т.е.,
ƒ₃(x, у) = (ах + bу + с)ƒ₂(х,у).

5 Нека е дадена елипсата
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$
с а ≥ b. Покажете, че
- ексцентриситетът на елипсата е
$\epsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}};$
- за точка r от елипсата е изпълнено
|r - r₁| + |r - r₂| = 2а
където
r₁ = (-с, 0), r₂ = (с, 0), с = √a² - b²;
- допирателната към елипсата в точката (x₀, y₀) има уравнение
$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2} = 1$
- елипсата може да се параметризира като
х = аcos θ, у = bsin θ, 0 ≤ θ < 2π.

6 Нека е дадена хиперболата
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$
с а ≥ b. Покажете, че
- ексцентриситетът на хиперболата е
$\epsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}};$
- за точка r от хиперболата е изпълнено
|r - r₁| + |r - r₂| = ± 2а
където
r₁ = (-с, 0), r₂ = (с, 0), с = √a² - b²;
- допирателната към хиперболата в точката (x₀, y₀) има уравнение
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2} = 1$
- хиперболата може да се параметризира като
х = аcosх t;, у = bsinh t, 0 ≤ t принадлежи R.

7 Канонизирайте линиите
2x² - 4xу + 5у² + 8x - 2у + 9 = 0,
225x² - 240xу + 64у² + З0x - 12у - 5 = 0,
15x² - 16xу - 15у² - 62x - 44у - 13 = 0,
45x² - 36у² - 90x - 24у + 41 = 0.

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,
проф. д-р Михаил Константинов

Алгебрични и плоски криви. Криви от втора степен
Класификация и канонизация на кривите от втора степен.
Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен
Класификация и канонизация на повърхнините от втора степен.
Повърхнини в многомерното пространство. Повърхнини от втора степен.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: