Нека да сме благодарни на проф. д-р Михаил Константинов за разрешението да четем курса в math10.com.

Алгебрични плоски криви. Криви от втора степен

В тази глава са изложени основните факти, свързани с алгебричните плоски криви и в частност с кривите от втора степен.

Означения

С R и C се означават множествата на реалните и на комплексните числа съответно, а с R^nxm - множеството на n x m матриците с реални елементи. Имагинерната единица се означава с i = √-1 . Прието е R^nx1 да се означава съкратено като Rⁿ. За A принадлежи

R^nxm с А^T принадлежи

R^mxn означаваме транспонираната матрица на матрицата A. Множеството Rⁿ е линейно (или векторно) пространство над R, но то може да се разглежда и като множество от точки с реални координати. В този смисъл, ако
$x = \left[ \begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\x_n \end{array}\right] \in R^n,$
то с (x₁, x₂,..., x_n) ще означаваме както вектора х, така и точката с координати x₁, x₂,..., x_n.

Диагонална n x n матрица с елементи a₁, a₂,..., a_n по диагонала се означава с diag(a₁, a₂,..., a_n). Единичната n x n се означава с I_n. Така I_n = diag(1,..., 1).

Ако А е квадратна матрица, с tr(A) и det(A) ще означаваме следата и детерминантата на А съответно.

Символът „:=" означава „равно по определение".

Полиноми на две променливи

Предполагаме, че читателят е запознат с полиномите на една променлива, макар че това не е абсолютно необходимо за работата с тези записки.

Реален полином (или многочлен) на две променливи ще наричаме израз от вида
$f(x,y) := \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}a_{ij}x^iy^j$ (1)
= a₀₀ + a₁₀x + a₀₁y + a₂₀x² + a₁₁xy + a₀₂y² + ...
където a_ij са реални коефициенти, а x и y са реални променливи. Разбира се, в (1) някои от коефициентите могат да са нулеви. Съгласно това определение полиномът е сума от мономи (или едночлени) a_ijxⁱy^j.

Аналогично се дефинира комплексен полином на две променливи, както и полином на две променливи над произволно поле.

Полиномът
$f_x(x,y) := \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}ia_{ij}x^{i-1}y^j$
= a₁₀ + 2a₂₀x + a₁₁y + ...
се нарича частна производна на ƒ(x, y) по x. Аналогично се дефинира частната производна на ƒ(x, y) по y, а именно
$f_y(x,y) := \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}ja_{ij}x^iy^{j-1}$
= a₀₁ + a₁₁x + 2a₀₂y + ...
Полиномът ƒ може да се разглежда и като функция R² -> R, която на всяка наредена двойка (x, y) принадлежи R² съпоставя числото ƒ(x, y) R. Разбира се, в този случай дефинираните по-горе частни производни са и частните производни на функцията ƒ по съответните аргументи,
$f_x(x,y) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h,y)-f(x,y)}{h},$
$f_y(x,y) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h)-f(x,y)}{h}.$
Степен на полинома (1) ще наричаме числото
deg(ƒ) := max{{i + j: a_ij ≠ 0}.
Ако всички коефициенти ац са нулеви, полиномът се нарича нулев, означава се с 0 и му се приписва степен -∞. Тази конвенция може да изглежда малко странна, но скоро ще стане ясно защо е необходимо на нулевия полином да се приписва такава степен.

Пример 1 Полиномът
x - 2y + 3x²2у - πx³у² е от пета степен поради наличието на монома -πx³y².

Пример 2
1) Полиноми от нулева степен са ненулевите константи
a₀₀ принадлежи R
2) Полиноми от първа степен са изразите от вида
a₁₀x + a₀₁y + a₀₀
където поне един от коефициентите а₁₀, a₀₁ е ненулев, т.е.,
a²₁₀ + a²₀₁ > 0.
3) Полиноми от втора степен са изразите
а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2р₁х + 2р₂у + q (2)
където поне един от коефициентите а_ij е ненулев, т.е.,
а²₁₁ + а²₁₂ + а²₂₂ > 0
(тук сме приели означения, различни от използваните в (1), което не би трябвало да води до недоразумения). Изразът (2) може да се запише във векторно-матрична компактна форма като
r^TАr + 2р^Tr + q
където
$r := \left[ \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right] \textrm{ , } p := \left[\begin{array}{cc} p_1 \\ p_2 \end{array} \right] \textrm{ , } A := \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right] \textrm{ , } a_{21} = a_{12}.$

Полиномите ƒ от степен deg(ƒ) ≥ 1 се наричат нетривиални. Така тривиални са полиномите, които се свеждат до константа.

Полиномът (1) се нарича приводим (над R), ако съществуват два нетривиални полинома g, h, такива че
ƒ(x, y) = g(x, y)h(x, y).
Полином, който не е приводим, се нарича неприводим. В частност полиномите от нулева и първа степен са неприводими.

Важно е да се знае, че даден реален полином ƒ, който не е приводим над R, може да се окаже приводим над C в смисъл,
че ƒ = gh, където ƒ и g са нетривиални полиноми с комплексни коефициенти. Така например полиномът
ƒ(х, у) = x² + у²
е неприводим над R, но се разлага на комплексни множители както следва
х² + y² = (х - iу)(х + iу).

Следователно полиномът ƒ от степен ≥ 2 е приводим, ако се разлага в произведение от нетривиални множители. Ще отбележим, че ако даден полином ƒ се представя като произведение на множителите g и h (тривиални или не), то
deg(ƒ) = deg(g) + deg(h).
Сега се вижда защо беше необходима конвенцията
deg(0) = -∞
за нулевия полином 0. Наистина, другата възможност беше да приемем, че deg(0) = 0. Но тогава за всеки нетривиален полином ƒ от равенството 0 = ƒ.0 щяхме да имаме deg(0) = deg(ƒ) + deg(0) и deg(ƒ) = 0, което противоречи на факта, че полиномът ƒ е нетривиален.

Всеки нетривиален ƒ полином може да се представи като произведение от степени на неприводими полиноми
ƒ(х,у) = ƒ^k₁₁(х,у)ƒ^k₂₂(х,у)...ƒ^k_m_m(х,у). (3)
Тук k₁ ≥ 1 са кратностите, с които участват в произведението ƒ неприводимите полиноми ƒ_i, такива че ƒ_i ≠ cƒ_j при i ≠ j, където с е реална ненулева константа. Това представяне е единст-вено, ако се условим да не различаваме два полинома в случай, че единият се получава от другия чрез умножаване с ненулева константа.

Алгебрични криви

Двойката (x₀, y₀) принадлежи R² се нарича нула на полинома ƒ, ако
ƒ(x₀, y₀) = 0.
Така нулите на един полином на две променливи са точки в равнината R².

Множеството от нули
Γ(ƒ) := {(x, у) принадлежи R² : ƒ(x, у) = 0} ⊂ R²
на полинома ƒ се нарича плоска алгебрична крива, асоциирана, или свързана с ƒ. В този случай зависимостта
ƒ(x, у) = 0
се нарича уравнение на кривата. Понякога за краткост самото уравнение ƒ(x, y) = 0 (записвано и като ƒ(x, у) = с, където с е реална константа) се нарича алгебрична крива. Степента на полинома ƒ по определение е и степен на алгебричната крива Γ(ƒ).

Ясно е, че Γ(0) = R² и Γ(с) = ∅ когато 0 ≠ с принадлежи R. Тези случаи са тривиални и поради това по-нататък ще разглеждаме само криви, асоциирани с нетривиални полиноми (т.е., с полиноми от първа и по-висока степен).

Кривите от първа степен са всъщност правите линии. 06щото уравнение на всяка права l ⊂ R² може да се запише във вида
ах + bу + с = 0
където а и b не са едновременно нули. Следователно можем да приемем, че
а² + b² = 1.
Общото уравнение на правата може да се запише и като
х соs φ + у sin φ = δ (4)
където 0 ≤ φ < 2π и δ > 0. Виждаме, че правата се определя от два параметъра. В случая това са φ и δ.

Когато правата не е успоредна на ординатната ос Оу (това е случаят когато b ≠ 0, което е еквивалентно на φ ≠ 0 и φ ≠ π), уравнението на правата може да се запише като
$y = kx + m = -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$
Аналогично, когато а ≠ 0, което е еквивалентно на φ ≠ π/2 и φ ≠ 3π/2, имаме
$x = lx + n = -\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}$

Нека (x₀, у₀) е точка от правата l, т.е.,
ах₀ + bу₀ + с = 0.
Тогава уравнението на правата може да се запише като
а(х - х₀) + b(у - у₀) = 0
или
(х - x₀)cos φ + (у - у₀)si φ = 0.

Ако се въведе вектора v := [а,b]^T, то имаме
v^T(r - r0) = 0
където
r := (х, у), r₀ := (х₀,y₀).

И накрая, уравнението на правата може да се запише в параметрична форма
х = х(t) = -bt + х₀,
y = y(t) = аt + y₀, t принадлежи R
или
r = r(t) = сt + r₀, r := (х, у), r₀ := (х₀, y₀)
където с = [-b, а]^T е направляващият вектор на правата.

Променливата t се нарича параметър на правата, който е удобно да се интерпретира като „ време". На всяка стойност на времето съответства определено положение на т. нар. изобразяваща точка с координати х(t),у(t). Така в момента t = 0 изобразяващата точка се намира в началното положение (x₀, y₀). Изобразяващата точка се движи по правата със скорост √a² + b², или с единична скорост, ако а² + b² = 1. Тази кинематична интерпретация на правата линия е много удобна при решаване на задачи понеже апелира директно към нашата физико-геометрична интуиция.

Две алгебрични криви се наричат еквивалентни, ако едната може да се получи от другата чрез транслация и ротация. Така например всички прави в равнината са еквивалентни, всички окръжности с даден радиус са еквивалентни, и т.н.

Да означим r = (х,у) и нека R принадлежи R^2x2 е ротацията
$R = \left[ \begin{array}{cc} \textrm{ cos }\phi & -\textrm{ sin }\phi \\ \textrm{ sin }\phi & \textrm{ cos }\phi \end{array} \right].$
Тогава алгебричните криви Γ(ƒ) и Γ(g) са еквивалентни, ако съществуват ненулева константа κ, ротация R и вектор r₀ принадлежи R², такива че
ƒ(r) = κg(Rr + r₀).

Към всяка алгебрична крива Γ ⊂ R² можем да отнесем едно множество [Γ] ⊂ R², наречено класа на еквивалентност, състоящо се от всички криви, еквивалентни на Γ. Уравненията на някои представители на този клас са в особено опростена (или канонична) форма, зависеща от минимален брой параметри. Такова е например уравнението (4).

Алгебричните криви могат да представляват сложни геометрични обекти и са предмет на изучаване в алгебричната геометрия. Кривите от втора степен, обаче, са сравнително прости фигури и се изучават с апарата на аналитичната геометрия. В примера по-долу са дадени някои алгебрични криви от втора степен.

Пример 3 Кривата:
1. х² + у² = 1 е единичната окръжност, т.е., окръжността с център в точката (0, 0) и с радиус 1;
2. х² + у² = 0 е точката (0, 0);
3. х² + у² = -1 е празното множество ∅;
4. ху + 2х - у - 2 = 0 се разпада на две перпендикулярни прави х = 1 у = -2;
5. х² - у² = 0 се разпада на бисектрисите у = х на I, III квадрант и у = -х на II, IV квадрант.

Кривата Γ(ƒ) се нарича приводима (респ. неприводима), ако полиномът ƒ е приводим (респ. неприводим).

Според една знаменита теорема на Безу две неприводими алгебрични криви в R² от степени съответно m и n или съвпадат, или се пресичат в не повече от mn точки (в С² те или съвпадат, или имат точно mn общи точки; при това в общите точки се отчита кратността на контакт).

Пример 4 Да разгледаме взаимното положение на окръжността
(х-х₀)² + (у - у₀)² = δ², δ > 0
с център (x₀, y₀) и радиус δ и правата
ах + bу + с = 0, а² + b² > 0
като ще считаме, че а² + b² = 1 (ако последното равенство не е изпълнено първоначално, можем да разделим с √a² + b² двете страни на уравнението на правата). За целта параметризираме правата както следва:
х = -bt - ас, у = аt - bс, t принадлежи R
и заместваме тези зависимости в уравнението на окръжността. Получаваме квадратно уравнение за t:
t² - 2(а&et; - bξ)t + ξ² + η² - δ² = 0
където
ξ := ас + x₀, η := ас + у₀.
Корените на уравнението са
t₁ = aη - bξ + √δ² - (aξ + bη)².
t₂ = aη - bξ - √δ² - (aξ + bη)².

Следователно:
- при δ > |аξ + bη| правата пресича окръжността в две точки (х₁, у₁) и (х₂,y₂), където
x_i = -bt_i - ас, у_i = аt_i - bс;
- при δ = |а&i; + bη| правата се допира до окръжността в точката (х₁,у₁), където
х₁ = -bt₁ - ас, у₁ = аt₁ - bс, t₁ = аη - bξ;
- при δ < |аξ + bη| правата не пресича окръжността.

Приводимата крива Γ(ƒ), съответстваща на полинома ƒ = gh, се разпада на две компоненти Γ(g) и Γ(h):
Γ(ƒ) = Γ(g) ∪ Γ(h).
Така всяка крива Γ(ƒ) може да се разложи на неприводими компоненти
Γ(ƒ) = Γ(ƒ₁) ∪ Γ(ƒ₂) ∪....∪ Γ(ƒ_m)
съответно с разлагането (3) на полинома ƒ на степени на неприводимите множители ƒ₁, ƒ₂,..., ƒ_m. Когато някой от неприводимите полиноми ƒ_i участва в разложението на ƒ в степен k_i > 0, компонентата Γ(ƒ_i) ⊂ Γ(ƒ) се нарича k_i-кратна крива. Така например уравненията х = 0 и х² = 0 определят едно и също множество (ординатната ос) в R², но за правата х² = 0 казваме, че е двойна.

Пример 5 Кривите 1, 2 и 3 от пример 3 са неприводими, а кривите 4 и 5 - приводими.

Пример 6 Кривата Γ с уравнение
х⁵ + ху² = x(x⁴ + у²) = 0
е приводима и се разпада на неприводимите си компоненти Δ и Ψ, където Δ е точката (0, 0), а Ψ е ординатната ос с уравнение х = 0. В този случай Δ ⊂ Ψ.

Възможно е една крива да е неприводима, но да се разпада на отделни клонове, представляващи непресичащи се множества в R². Такава е например хиперболата, разгледана в следващата глава.

Кривата Γ(ƒ) се нарича рационална, ако съществуват две рационални функции φ, ψ на един аргумент, поне една от които не е постоянна, и такива че
ƒ(φ(t), ψ(t)) = 0, t принадлежи R\Ω
където Ω е множеството от нули на знаменателите на φ и ψ. Ще напомним, че една функция е рационална, ако тя може да се престави като отношение на два полинома.

Ако кривата Γ(φ) е рационална, то зависимостите
х = φ(t), у = ψ(t), t принадлежи R\Ω
представляват рационална параметризация на кривата Γ(ƒ). Когато една крива е рационална, съществуват безбройно много нейни рационални параметризации.

Въпросът за рационалност на дадена крива ƒ(x, у) = 0 е много труден в общия случай. Също така много труден е въпросът дали дадена крива ƒ(x, у) = 0 съдържа рационални точки (ξ, η), т.е., точки, чиито координати ξ и η са рационални числа. Знаменитата и доскоро недоказана Велика хипотеза на Ферма гласи, че уравнението
аⁿ + bⁿ = сⁿ
няма решение в цели положителни числа а, b, с и n при n > 2. Ако положим х = а/с, у = b/с, то Великата хипотеза на Ферма (сега вече теорема) е еквивалентна на твърдението, че кривата
хⁿ + уⁿ = 1
не съдържа рационални точки при n цяло и по-голямо от 2.

Пример 7 Кубичната крива у² = х² + x³ съдържа точката (0,0) и се рационализира чрез полагането у = vх. След заместване в уравнението на кривата получаваме v² = х + 1, откъдето следва рационалната параметризация
х = v² - 1, у = v(v² - 1).
Очевидно кривите от първа степен (правите) са рационални. Лесно се вижда, че и окръжностите са рационални.

Пример 8 Окръжността х² + у² = 1 е рационална крива с параметризация
$x = \frac{2u}{1 + u^2}, y = \frac{1-u^2}{1+u^2}, u \in R$

Пресичане на линии

Да разгледаме въпроса за пресичане на произволна крива Γ от n-та степен (n ≥ 2)
ƒ(r) = ƒ(x, у) = 0, r = (х,у)
с правата l
r = сt + r₀, t принадлежи R
минаваща през точката r₀ и с направляващ вектор с R². След заместване на параметризацията на правата в уравнението на кривата получаваме уравнение от n-та степен за t с коефициенти А_i, зависещи от с и r₀
А_n(с)tⁿ + А_n-1(с,r₀)t^n-1 + .... + A₁(с,r₀)t + А₀(r₀) = 0.
Ще отбележим, че старшият коефициент А_n зависи само от с, а свободният член А₀ = ƒ(r₀) - само от r₀.

Когато А_n(с) ≠ 0 имаме n корена t₁, t₂,..., t_n (между тях може да има кратни и/или комплексни), зависещи от с и r₀,
t_i = t_i(с, r₀), i = 1,...,n.
На всеки реален корен t_i отговаря пресечна точка
r_i = ct_i + r₀
на Γ и l.

Когато t_i е k-кратен корен казваме, че в точката r_i има пресичане от ред k ≥ 1. Пресичането от първи ред е типичният случай. Пресичането от втори ред се нарича още допиране, или допиране от първи ред. Изобщо, пресичането от k-ти ред се нарича допиране от (k - 1)-ви ред.

Когато кривата и правата се допират в точката
(х₀, y₀) принадлежи Γ ∩ l
казваме, че правата е допирателна към кривата в съответната точка. Допирателната към кривата Γ в точката (х₀, y₀) Γ може да се определи и като граничното положение на секущата през точките (x₀, y₀) и (ξ, η) принадлежи Γ когато ξ -> x₀ и η -> у₀. С използване на тази дефиниция може да се покаже, че уравнението на допирателната към алгебричната крива с уравнение
ƒ(x, y) = 0
в точката (x₀, y₀) е
(х - х₀)ƒ_xх(х₀,у₀) + (у - y₀)ƒ_y(х₀,y₀) = 0. (5)

Векторите с, за които А_n(с) ≠ 0, определят т.нар. неасимптотични направления на кривата.

Когато t_i е комплексен корен казваме, че Γ и l се пресичат в мнимата точка сt_i + r₀.

Когато А_n(с) = 0 казваме, че направлението, определено от вектора с, е асимптотично.

В случай на асимптотично направление са възможни три основни подслучая, а именно:
1. Съществува цяло число r (1 ≤ r ≤ n - 1), такова че
А_n(с) = А_n-1(с,r₀) = .... = А_r+1(с,r₀) = 0, А_r(с,r₀) ≠ 0.
Тук имаме уравнението
А_r(с,r₀)t^r + A_r-1(с, r₀)t^r-1 + .... + А₁(с, r₀)t + А₀(r₀) = 0
което има r корена t₁, t₂,... ,t_r. В този случай казваме, че Γ и l имат допиране от (n - r)-ти ред в безкрайност, и се пресичат в r точки x_j = сt_j + r₀ (последните на свой ред могат да са реални или комплексни).

2. Изпълнено е условието
А_n(с) = А_n-1(с,r₀) = .... = А₁(с,r₀) = 0, А₀(r₀) ≠ 0.
Тук уравнението за t се свежда до противоречивото равенство А₀(r₀) = 0. Казваме, че Γ и l имат допиране от n-ти ред в безкрайност.

3. Изпълнено е условието
А_n(с) = A_n-1(с,r₀) = .... = А₁(с,r₀) = А₀(r₀) = 0.
Тук уравнението за t се свежда до тъждеството 0 = 0 и следователно правата l лежи изцяло в Γ.

Криви от втора степен

Нека r₀ = (x₀,у₀) и r₁ = (x₁,y₁) са точки (или вектори) от R². Разстояние между тези точки е величината
d(r₀,r₁) := |r₀ - r₁| := √(x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)².

Нека Γ₀ и Γ₁ са множества от точки в равнината R². Разстояние между тези множества е точната долна граница на множеството на разстоянията между точки от Γ₀ и Γ₁. Това е величината
d(Γ₀, Γ₁) = inf{|r₀ - r₁| : r₀ принадлежи Γ₀, r Γ₁}.
Означенията за тези разстояния се съгласуват, ако едноточковото множество {r₀} се означи просто като r₀.

Да разгледаме сега по-подробно кривите от втора степен, описвани от уравнението
ƒ(x, у) = a₁₁x² + 2a₁₂ху + а₂₂y² + 2p₁x + 2р₂у + q,
съответстващо на полинома (2) от пример 2. Тези криви се наричат още конични сечения, или съкратено коники. Наименованието се дължи на факта, че трите същински коники - елипса, хипербола и парабола, могат да се получат като сечения на прав кръгов конус с равнини, сключващи различни ъгли с оста на конуса. Това е било известно още на древните гръцки математици.

Според една друга дефиниция същинската коника е геометрично място на точки г от равнината, такива че
$\frac{d(r, r_0)}{d(r,l)} = \epsilon$
където r₀ принадлежи R² е зададена точка, l ⊂ R² зададена права и ε > 0 е константа. В зависимост от стойността на ε имаме елипса (ε < 1), парабола (ε = 1) и хипербола (ε > 1). Точката r₀ се нарича фокус, правата l - директриса, а числото ε - ексцентриситет на кониката.

Уравнението на кониката в полярни координати ρ, θ се получава както следва. Нека полярният лъч е перпендикулярен на l и с начало във фокуса r₀. Ако означим δ := d(r₀,l), то за точките r от кониката, които са от страната на l, където е точката r₀, имаме ρ = d(r,r₀) и d(r,l) = δ - ρcos θ. Оттук
$\frac{\rho}{\delta-\rho cos \theta} = \epsilon$
Следователно уравнението на кониката в полярни координати
$\rho = \frac{\epsilon \delta}{1 + \epsilon cos \theta}.$
Да въведем векторната променлива
$r = \left[ \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right] \in R^2$
и да положим
$p := \left[ \begin{array} p_1 \\ p_2 \end{array} \right] \in R^2 \textrm{ , } A := \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array} \right] \in R^{2x2}.$
Тогава уравнението на кониката Γ(ƒ) може да се запише във вида
ƒ(x,у) = r^TАr + 2р^Tr + q = 0.
Ако положим
$M := \left[ \begin{array}{cc} A & p \\ p^T & q \end{array} \right] \in R^{3x3} \textrm{ , } \widehat{r} := \left[ \begin{array}{cc} r \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textrm{ (6) }$
уравнението на кониката може да се запише и като
$\widehat{r}^TM\widehat{r} = 0.$

Ще напомним, че с (х,у) означаваме както точка от равнината с координати х,у, така и вектора r = [х,у]^T предвид взаимно-еднозначното съответствие между точките в равнината с избрана координатна система Оху и векторите с начало в точката О.

Ще покажем как кониката може да се рационализира. Нека Г(ƒ) ≠ 0 и r₀ = (х₀,у₀) е точка от Γ(ƒ), т.е., ƒ(x₀, y₀) = 0. Да прекараме през r₀ права l с параметрично уравнение r = r₀ + ct, където t принадлежи R текущ параметър и c R² е произволен вектор, такъв че с Ас ≠ 0, т.е., искаме с да не определя асимптотично направление.

Избирайки различни направляващи вектори с получаваме семейство от прави l_c през r₀, всяка от които (евентуално) пресича Γ(ƒ) в още една точка r = (х, у). За да намерим стойността на t, при която l_c пресича кониката Γ(ƒ) в точка (х,у), заместваме r с r₀ + сt в уравнението ƒ(r) = 0, т.е.,
ƒ(r₀ + сt) = 0.
Получаваме квадратно уравнение
(с^TАс)t² + 2(r^T₀А + р^T)сt = 0
за t с коефициенти, зависещи от r₀ и с и с нулев свободен член ƒ(r₀) = 0. Корените на уравнението са t₁ = 0 (съответстващ на точката r₀) и
$t_2 := \frac{2(r_0^{T}A+p^T)c}{c^TAc}$
(съответстващ на точката г). Оттук
$r = (x,y) = -\frac{2(r_0^{T}A+p^T)c}{c^TAc}.$

Да изберем с = [1, v]^T или с = [u,1]^T и нека r₀ е някой от параметрите u или v. Тогава координатите х,у на точката от Γ(ƒ) са рационални функции на w от вида Р(w)/Q(w), където Р и Q са полиноми от втора степен.

Упражнения

1 Разложете на множители g, h полинома
ƒ(x, у) := Зху² - у³ - Зx² - у² + ху + х
и постройте приводимата крива
Γ(ƒ) = Γ(g)Γ(h).

2 Намерете пресечните точки на кривите
х² + 2у² = 1
и у = х² - х + 0.25.

3 Изследвайте взаимното разположение на окръжността
х² + у² - 4x + 3 = 0
и правата у = kх в зависимост от стойностите на параметъра k.

4 Намерете рационална параметризация на кривата
х² - 2ху + Зу² + 4у = 0.

5 Намерете рационална параметризация на кривата
x³ + у³ + ху² + х²у + х² + у² + ху = 0.

6 Покажете, че кривата Γ(ƒ) се рационализира, ако полиномът ƒ е сума на мономи само от n-та и (n - 1)-ва степен.

7 Ако полярният лъч е неотрицателната абсцисна полуос, покажете, че уравнението на правата
ах + bу + с = 0
може да се запише в полярни координати ρ, θ като
ρcos(φ - θ) = ρ₀.
Пресметнете φ и ρ₀.

8 Покажете, че кониката с фокус (x₀,у₀) и директриса
ах + bу + с = 0
има уравнение
(x - x₀)² + (у - y₀)² + k(ax + bу + с)² = 0
където k е параметър. Определете при какви стойности на k кониката е елипса, парабола или хипербола.

Елементи на аналитичната геометрия: криви и повърхнини от втора степен,
проф. д-р Михаил Константинов

Алгебрични и плоски криви. Криви от втора степен
Класификация и канонизация на кривите от втора степен.
Алгебрични повърхнини. Повърхнини от втора степен
Класификация и канонизация на повърхнините от втора степен.
Повърхнини в многомерното пространство. Повърхнини от втора степен.

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: