Math10.com

Целогодишни курсове 2008/2009 година - 7 и 12 клас

English

Унгария - задачи давани на олимпиади

1. Дадени са четири точки A, B, C и D, които лежат на една права. Да се построи квадрат по такъв начин, че продълженията на две негови срещуположни страни да минават през A и В, а продълженията на другите му две страни - през C и D.

2. Нека a₁, a₂,...., a_n е произволна пермутация на числата 1, 2,...., n. Да се докаже, че ако n е нечетно число, произведението
            (a₁ - 1)(a₂ - 2)....(a_n - n)
е четно число.

3. Да се докаже, че дъгата, отсечена върху единичната окръжност от раненете на произволен остър централен ъгълм е по-малка от средното аритметично на синуса и тангенса на този ъгъл.

4. Върху окръжността, описана около правилния осмоъгълник P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₇P₈, е избрана произволна точка Q. Да се докаже, че сумата от четвъртите степени на разстоянията от Q до диагоналите P₁P₅, P₂P₆, P₃P₇ и P₄P₈на многоъгълника не зависи от положението на Q.

5. Точките А и В от окръжността k са съединени с дъга от окръжността k', която дели лицето на кръга, заграден от k, на две равни части. Да се докаже, че дъгата от окръжнотта k' съединяваща точките А и В е по-голяма от диаметъра на k.

6. Числата 1, 2, 3, 4, 5 са разделени на две групи по произволен начин. Да се докаже, че в едната група винаги може да се намерят две числа, чиято разлика съвпада с число от същата група.

7. Дадени са три естествени числа a, b и с. Да се докаже, че ако за всяко естествено число n може да се построи триъгълник със страни aⁿ, bⁿ и cⁿ, то всички построени триъгълници ще са равнобедрени.

8. Да се докаже, че ако a, b и n са естествени числа и b се дели на aⁿ, то числото (а + 1)^b - 1 се дели на aⁿ⁺¹.

9. Точките A₁, A₂,...., A_n не лежат на една права. Нека P и Q са две такива точки (различни от A₁, A₂,...., A_n и несъвпадащи една с друга), че
        A₁P + A₂P + ... + A_nP = A₁Q + A₂Q + ... + A_nQ = s.
Да се докаже, че съществува точка K, за която
            A₁K + A₂K + ... + A_nK < s.

10. Да се докаже, че едно цяло число може да се представи като сбор на два квадрата тогава и само тогава, когато два пъти по-голямото от него число притежава същото свойство.

11. В окръжност е вписан шестоъгълник ABCDEF, чиито страни AB, CD и EF са равни на радиуса на окръжността. Да се докаже, че средите на другите три страни на шестоъгълника са върхове на равностранен триъгълник.

12. Да се докаже, че ако n е нечетно число, то числото 46ⁿ + 296.13ⁿ се дели на 1947.

13. Да се докаже, че във всяка компания от шест човека винаги има трима, познати един на друг, или трима, непознати един на друг. (Счита се, че двама души А и В от компанията се познати един на друг, ако А познава В и В познава А.)

За реклама   Дарения    Детска енциклопедия   Реферати