Русия - олимпиада по математика

1. В остроъгълния триъгълник АВС височиката СК, медианата ВМ и ъглополовящата AD са равни. Да се докаже, че триъгълникът АВС е равностранен.

2. Три от върховете на ромб лежат съответно върху страните АВ, ВС и CD на даден квадрат ABCD със страна 1. Да се намери лицето на фигурата, която запълват четвъртите върхове на такива ромбове.

3. Естественото число К притежава следното свойство: ако М дели К, то и числото, което се записва със същите цифри като М, но в обратен, се дели на К. Да се докаже, че К е делител на 99.

4. В центъра на поляна с квадратна форма се налира вълк, а във върховете на квадрата - кучета. Вълкът може да тича по цялата поляна, а кучетата - само по страните на квадрата. Известно е, че вълкът може да убие едно куче, а две кучета заедно могат да убият вълка. Максималната скорост на всяко куче е 1,5 пъти по-голяма от максималната скорост на вълка. Да се докаже, че кучетата имат възможност да не допуснат вълка да излезе от поляната.

5. Всички страни на даден изпъкнал петоъгълник са равни.
а) Да се докаже, че върху най-големия диагонал на този триъгълник има точка, от която всички страни се виждат под ъгъл не по-голям от 90°.
б) Да се докаже, че кръговете с диаметри страните на петоъгълника не го покриват изцяло.

6. Дадено е произволно естесвено число n. Написани са всички дроби от вида $\frac{1}{pq}$ , където p и q са взаимно прости, 0 < p < q ≤ n и p + q = n. Да се докаже, че сумата на всички тези дроби е равна на ½.

7. С h_k е означена дължината на апотемата на правилен k-ъгълник, вписан в кръг с радиус R. Да се докаже, че
(n + 1)h_n+1 - nh_n > R.

8. всеки от върховете на правилен n-ъгълник е оцветен с един от няколко дадени цвята, така че точките с един и същ цвят са върхове на правилен многоъгълник. Да се докаже, че измежду тези правилни многоъгълникци има два еднакви.

9. През средата М на страната ВС на триъгълника АВС и през центъра О на вписаната в този триъгълник окръжност е прекарана права, която пресича височината АН в точката Е. Да се докаже, че отсечката АЕ е равна на радиуса на вписаната в триъгълника АВС окръжност.

10. Два еднакви правоъгълника са разположени така, че контурите им се пресичат в 8 точки. Да се докаже, че лицето на общата част на двата правоъгълника е по-голямо от половинта от лицето на всеки от тях.

11. Точките М и N са средите съответно на страните AD и BC в правоъгълника ABCD. Върху лъча CD^->вън от отсечката CD е избрана точка Р. Нека Q е пресечната точка на правите PM и AC. Да се докаже, че QNM = MNP.

12. Сумата на n положителни числа x₁, x₂,...., x_n е равна на 1. Нека S е най-голямото от числата
$\frac{x_1}{1 + x_1}, \frac{x_2}{1 + x_1 + x_2},....., \frac{x_n}{1 + x_1 + x_2 + .... + x_n}$
Да се намери най-малката възможна стойност на S. За какви стойности на x₁, x₂,...., x_n се достига тя?
Отговор: $S = 1 - \frac{1}{^n sqrt{2}}$

13. Всяка от девет прави разделя даден квадрат на два четириъгълника, лицата на които се отнасят, както 2:3. Да се докаже, че поне три от тези прави минават през една точка.

14. Да се докаже, че ако А е деветцифрено число, в десетичния запис на което участват всички цифръ с изключение на цифрата 0 и което завършва с цифрата 5, то А не може да бъде квадрат на цяло число.

15. Федерацията по тенис е съставила панг-листа на своите тенисисти. В нея всеки от тях има свий номер: най-силният - първи номер, следващият по сила - втори номер, и т.н. Известно е, че всяка игра между тенисисти, чиито номера се различават с повече от 2, завършва с победа за тенисиста с по-малък номер. Решено е да се проведе турнир с участието на 1024 тенисисти по следната схема: във всеки кръг участниците се разпределят по двойки с помощта на жребий и за участие в следващия кръг се класира само победителят от всяка игра, така че след всеки кръг броят на участниците намалява на половина. След 10 кръга ще бъде излъчен победител. Какъв най-голям номер може да има той?
Отговор: Номер 20.

16. Да се намери най-малкото число от вида |36^k - 5^s|, където k и s са естесвени числа.
Отговор: 11.

17. Възможно ли е числата 1, 2, 3,...., 100 да бъдат подредени така, че средното аритметично на всеки две от тях да не е равно на някое от числата, които се намират между двете в редицата.
Отговор: Да, възможно е.

18. В една равнина са дадени n единични вектора, чиято сума е равна на нулевия вектор. Да се докаже, че те могат да бъдат номерирани по такъв начин, че за всяко k = 1, 2,..., n да е изпълнено следното условие: дължината на сумата на първите k вектора да не надминава 2.

19. Даден е полином Р, чиито коефициенти са:
а) естесвени числа;
б) цели числа.
За всяко естесвено число n с a_n ще означаваме сумата от цифрите в десетичния запис на числото P(n). Да се докаже, че има число, което се среща безброй много пъти в редицата а₁, a₂, a₃,.....

20. В една равнина е дадено крайно множество от многоъгълници, всеки два от които имат обща точка. Да се докаже, че съществува права, която има обща точка с всеки от тези многоъгълници.

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: