Украйна

Киевска олипиада

1. Дадена са отсечка АВ и точка С, която лежи върху правата АВ, но вън от отсечката АВ. Построяват се окръжности, минаващи през А и В, и подирателните от точката С към всяка от тях. Да се докаже, че хоридте, съединяващи допирните точки, се пресичат в една точка. Да се докаже това твърдение за произволни криви от втора степен.

2. Нека γ е гладка изпъкнала затворена крива и О е точка, която лежи в областта D, заградена от γ. През О е прекарана хорда, която отсича от D сегмент с максимално възможно лице. Да се докаже, че О е средата на тази хорда.

3. Функцията ƒ е дефинирана и диференцируема в интервала (0, +∞) и $\lim_{x\to\infty}(f(x) + f'(x)) = 0.$ Да се докаже, че $\lim_{x\to\infty}f(x) = 0.$

4. Да се пресметне сумата на реда $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}$

5. Да се докаже, че за всяко естествено число n числото
      $\sqrt{1 + \sqrt{2 + .... + \sqrt{n}}}$
е ирационално.

6. Канал с широчина h завива под прав ъгъл. Какъв правоъгълен сал с максимално лице може да мине по него?
Отговор: Квадрат със страна h или правоъгълник със страни $x = \frac{h\sqrt{2}}{2}$ и $y = h\sqrt{2}$. Лицето на такъв сал е h².

7. Височините на даден тетраедър се пресичат в една точка. Да се докаже, че трите равнинни ъгъла при който и да е от върховете му са едновременно или остри, или прави, или тъпи.

8. Една квадратна матрица се нарича нилпотентна, ако някоя нейна цяла положителна степен е нулева матрица. Да се докаже, че ако за матриците А и В с размери n x n съществуват n+1 реални и различни стойности на параметъра k, за които матрицата kA + B е нилпотентна, то В е нилпотентна.

9. Функцията ƒ: R -> R е непрекъсната в точката 0 и за всяко x R е изпълнено равенството 2ƒ(2x) = ƒ(x) + x. Да се намери ƒ.

10.Нека γ е гладка затворена крива в R^m и вектора а е фиксиран вектор в R^m. Да се докаже, че върху γ има таква точка x, че тангентата на γ в х е перпендикулярна на вектора а.

11. Да се намерят всички функции ƒ: R -> [1, ∞), които имат производна във всяка точка и удовлетворяват равенството
      $\int_{1}^{f(x)}e^{u^2}du = \int_{0}^{x}\frac{udu}{f(u)}, x \in R.$

12. Да се докаже, че има безброй много положителни стойности на х, за които сумата на реда
            $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n + x}$
е рационално число.

13. Да се пресметне границата
            $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\pi}cos{x^n}dx.$

14. Да се докаже, че не съществува такова положително рационално число х, за което да е изпълнено
              $x^{[x]} = \frac{9}{2}.$

15. От точка във вътрешността на даден куб, която не лежи на диагоналните му сечения, успоредно на един от диагоналите му излиза светлинен лъч. Да се докаже, че след като последователно се отрази от всички стени, лъчът ще се върне в началната точка.

16. Дадени са елипса и лежаща вън от нея точка А. С линийка и пергел да се построи права, която минава през А и се допира до елипсата.

17. За х [0, 1) да се пресметне
        $\sum_{n=1}^{\infty}1983^{2[2^{-1}(x.2^n)]}.2^{-n}$

18. Нека ${{a_n}}_{n=1}^{\infty}$ е редицата от първите цифри на числата 2ⁿ, n = 1, 2,.... Да се докаже, че числото 0,a₁a₂...., е ирационално.

19. Функцията ƒ C([0,1]) удовлетворява уравнението
        $f(x) = \frac{1}{3}(f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3})), 0 \le x \le 1.$

20. Нека А е матрица с размери n x n реални елементи. Да се докаже, че съществува такава ортогонална матрица U, за която AU е триъгълна матрица с нули под диагонала и с неотрицателни елементи на диагонала.