МенюДиалози за математиката между Сократ и Хипократ
Питагорейско учение за числата
Сократ: Отговори ми най-напред на следния въпрос: знаеш ли що е математика? Предполагам, че имаш понятие за това, което искаш да изучиш.
Хипократ: Смятам, че всяко дете знае. Математиката е наука, и то не каква да е, а една от най-добрите.
Сократ: За да разбереш какво не ми е ясно, да поговорим, първо, за някоя друга наука, например за медицината. Прав ли ще бъда, ако кажа, че медицината е наука за здравето и болестите, чиято цел е да лекува болните и да предпазва здравите от заболявания?
Хипократ: Прав си.
Сократ: Колко болести съществуват, как могат те да се разпознават и лекуват, е известно само на лекарите - дори и те твърде малко знаят за тях. Обаче в какво се състои медицината и каква е нейната цел, е известно наистина на всяко дете. Но ми се струва, че с математиката работата не е така проста.
Хипократ: Обясни в какво се състои разликата, Сократе, защото не ми е ясно.
Сократ: Помисли добре с какво се занимава медицината: с неща, които съществуват, или с неща, които не съществуват? Би ли имало болни, ако нямаше лекари?
Хипократ: Разбира се, че би имало, и то много повече.
Сократ: Да разгледаме сега някоя друга наука или занаят. Помисли добре, приятелю, прав ли съм, като казвам, че астрономът изследва звездите?
Хипократ: Прав си.
Сократ: А какво ще ми отговориш, ако те попитам: астрономът е нещо, което съществува, или се занимава с нещо, което не съществува?
Хипократ: Ще ти отговоря, че се занимава с нещо, което съществува.
Сократ: А звезди би ли имало, ако нямаше астрономи?
Хипократ: Безспорно. Дори е съвсем сигурно, че ако гневът на Зевс унищожи хората, звездите пак ще сияят на небето. Но защо говорим за астрономите, а не за математиците?
Сократ: Не бъди толкова нетърпелив, приятелю. Преди да говорим за математика, да разгледаме още някои други науки и занаяти. Така ще има с какво да сравним математиката и работата на математиците. Как би нарекъл човека, който изследва животните и растенията и знае какви същества обитават горите и морските дълбини?
Хипократ: Бих го нарекъл изследовател на живата природа.
Сократ: А ще се съгласиш ли, ако кажа, че този човек се занимава с неща, които съществуват в природата?
Хипократ: Напълно.
Сократ: А как би нарекъл човека, който изучава рудите и знае от кои може да се получи желязо?
Хипократ: Бих го нарекъл познавач на рудите.
Сократ: Сега ми кажи: този човек с нещо съществуващо ли се занимава или проучва несъществуващи неща?
Хипократ: Разбира се, че проучва нещо съществуващо.
Сократ: Можем ли да твърдим, че всяка наука се занимава с нещо, което съществува?
Хипократ: Изглежда, че спокойно можем да твърдим това.
Сократ: Е кажи ми тогава, с какво се занимава математиката и какво изследва?
Хипократ: Същото попитах и аз Теетет. Той ми каза, че математиката се занимава с числа и геометрични форми.
Сократ: Добре ти е отговорил. Аз не бих могъл да го кажа по-добре. Но помисли внимателно - можем ли да кажем, че числата и формите съществуват?
Хипократ: Смятам, че можем. Впрочем как бихме могли да говорим за тях, ако не съществуват?
Сократ: Това е добре казано, но мене тук все още нещо ме смущава. Кажи ми, примерно, простите числа така ли съществуват, както звездите и рибите? Ако нямаше математици, щеше ли да има прости числа?
Хипократ: Започвам да разбирам накъде ме водиш. Виждам, че работата не е така проста, както си мисля, и наистина не знам как да отговоря на въпроса ти.
Сократ: Тогава ще го задам по друг начин. Нали звездите са на небето, дори и никой да не ги наблюдава, а рибите плуват в морето дори и никой да не ги лови - било за ядене, било за изучаване?
Хипократ: Така е.
Сократ: А къде биха били простите числа, ако математиците не биха ги изучавали?
Хипократ: Не биха били никъде. Когато математиците мислят за простите числа, те са в главата им. В такъв случай, ако никой не мисли за простите числа, те не са никъде.
Сократ: Можем ли тогава да кажем, че математиците се занимават с такива неща, които не биха съществували без тях?
Хипократ: Така изглежда.
Сократ: Ако сега кажа, че математиците изследват неща, които не съществуват, най-малкото не съществуват така, както звездите и рибите, прав ли ще бъда?
Хипократ: Безспорно ще си прав.
Сократ: Почакай, нека не прибързваме. Имаш ли восъчна табличка?
Хипократ: Имам, ето я.
Сократ: Тогава внимавай. Ще напиша на табличката едно число - да кажем 29 - то съществува, нали?
Хипократ: Да, ние го виждаме и дори можем да го пипнем.
Сократ: Е тогава съществуват ли числата?
Хипократ: Сократе, ти искаш да ме подведеш. Виж, аз ще нарисувам на табличката един лъв и един седемглав змей. И едната, и другата рисунка ние можем да видим на табличката, въпреки че лъвове наистина съществуват, а седемглав змей - не. Аз поне не съм виждал и не съм срещал човек - дори между най-възрастните, - който да го е виждал. Но, ако греша и някъде отвъд Херкулесовите стълбове все пак съществуват седемглави змейове, това ще се дължи на родения от въображението ми змей, който нарисувах тук. Ако съществуват змейове, те биха съществували и без да рисувам този тук.
Сократ: Правилно, Хипократе. Както виждам, хванал си истината като заек за ушите. С други думи, това, че можем да говорим за числата или да ги напишем, все още не означава, че те наистина съществуват.
Хипократ: Във всеки случай не съществуват така, както лъвовете и звездите.
Сократ: Да обмислим по-добре това, защото мене ме смущава още нещо. Ние можем да преброим овцете в това поле или корабите в пристанището на Пирея, нали?
Хипократ: Разбира се.
Сократ: И няма съмнение, че овцете и корабите съществуват?
Хипократ: Естествено.
Сократ: Щом съществуват овцете, не съществуват ли числата? На мене ми се струва, че все пак математиците се занимават с нещо съществуващо.
Хипократ: Пак искаш да ме подведеш, Сократе, но няма да се дам. Математиците не се занимават с броене на овце. Това е работа на овчарите и за нея не трябва кой знае каква мъдрост.
Сократ: Ти искаш да кажеш, че математиците не се занимават с броя на овцете и корабите, а със самите числа. Тоест не броят нещо съществуващо, а се занимават със самите числа и в такъв случай това, от което се интересуват, наистина съществуват само в мислите им.
Хипократ: Струва ми се, че е така.
Сократ: Ако добре си спомням, ти ми каза, че според Теетет математиците се занимават с числа и геометрични форми. Нека видим, без да бързаме, дали положението с формите е същото както с числата или тук работата е друга. Ако попитам съществуват ли формите, какво ще отговориш?
Хипократ: Че съществуват. Нали за една сполучливо изработена ваза всички казват, че има хубава форма. Формата можем да видим с очите си и да пипнем с ръцете си. Затова смятам, че смело можем да кажем: формата съществува.
Сократ: Много хубаво го каза, Хипократе, ти почти щеше да ме убедиш. Едно обаче тук ме безпокои.
Хипократ: Какво е то, Сократе? Да не би отново да съм сгрешил?
Сократ: Прецени сам. Какво всъщност виждаш, когато имаш пред себе си една ваза: самата ваза или формата й?
Хипократ: И двете.
Сократ: Може би същото става когато гледаш една овца - виждаш и самата овца и вълната й?
Хипократ: Сравнението е много точно.
Сократ: На мене пък ми се струва, че сравнението куца като Хефест. Та нали овцата може да бъде остригана и тогава ще видиш поотделно овцата и вълната й. Можем ли по същият начин да отделим вазата от формата й?
Хипократ: Нито аз, нито някой друг би могъл.
Сократ: Все още ли твърдиш, че можем да видим геометричните форми?
Хипократ: Започвам да се съмнявам в това.
Сократ: Струва ми се, че формата на вазата не може да бъде отделена от нея. Кажи тогава: щом математиците се занимават с формите на вазите и съдовете, не би ли трябвало да ги наречем грънчари?
Хипократ: Несъмнено.
Сократ: Щом математиците се занимават с формата на вазите и съдовете, би трябвало Теодор да е най-прочутият майстор на вази, защото най-добре познава геометричните форми. Аз обаче смятам, че той не би могъл да направи дори едно просто канче.
Хипократ: Мнозина хвалиха пред мене Теодор и точно затова исках да стана негов ученик. Но че разбира и от грънчарския занаят никой не ми е казвал.
Сократ: А може би математиците се занимават с формите на сградите, колоните и статуите? Тогава би трябвало да са архитекти или скулптори.
Хипократ: Прав си.
Сократ: В такъв случай, Хипократе, на мене ми се струва, че математиците не се занимават с формите на предметите, а със самите форми, без да обръщат внимание, кои предмети притежават тези форми. Следователно математиците не се интересуват от формите като нещо видимо или осезаемо, съществуващо в обикновения смисъл на думата, а само такива форми, които съществуват в мислите им. И ти ли виждаш нещата така?
Хипократ: Сега вече - да.
Сократ: След като установихме, че математиката не се занимава само с неща, съществуващи във въображението, да се спрем на твърдението на Теетет, че математиката е по-сигурна и безпогрешна от коя да е друга наука. Кажи, приятелю, приведе ли Теетет някои примери или говори само в общи черти?
Хипократ: Даде примери - много ясни и прости - такива, че напълно ме убеди.
Сократ: Би ли могъл да ми кажеш няколко примера, нека и аз да науча нещо.
Хипократ: Ще се опитам, но ако не си спомням добре или лошо ги казвам, не осъждай Теетет, а мене.
Сократ: Говори смело.
Хипократ: Обясни например, че не може съвсем сигурно да се каже колко далече е Спарта от Атина. Всеки, който е минавал този път, може да каже колко дни е пътувал. Но колко крачки се правят по пътя, това не може да се установи точно. Колкото и точно да измери някой разстоянието, дори с рулетка, измерването няма да е съвсем точно. Ако бъде измерено отново, сигурно ще има разлика между двата резултата. А колко е дълъг диагоналът на квадрата, от времето на Питагор насам, можем да кажем съвсем точно и всеки, който разбира за какво става дума, ще се съгласи с това.
Сократ: Добре го е казал Теетет и ти добре предаваш думите му - съдейки по това, че казаното от тебе е много убедително. Може би си спомняш и някой друг пример?
Хипократ: Чакай да помисля малко. Да, каза ми още, че не е възможно съвсем точно да се установи колко души живеят в Елада. Ако се опитаме да ги преброим, по време на преброяването ще се родят много деца и множество старци ще умрат, кораби ще тръгнат на път, а други ще се върнат - така че ще дадем само приблизителен и неточен отговор на въпроса. Но ако попиташ един математик например, колко ръба има додекаедър, той знае да даде такъв отговор, който не буди никакво съмнение. Както е известно, додекаедърът е заграден от дванадесет петоъгълника, всеки от които има пет страни. Всяка от страните на петоъгълниците се съдържа в две страни едновременно и следователно додекаедърът има 30 ръба.
Сократ: Даде ли ти и други примери?
Хипократ: Цял куп, не мога дори да ги изброя. Каза например, че в действителност няма два съвършено еднакви предмета. Ето колоните в храма на Посейдон - въпреки че много си приличат една на друга - не са напълно еднакви. Не съществуват и две съвсем еднакви яйца. Напротив, диагоналите на правоъгълника са еднакво дълги отсечки и между тях няма никаква разлика. Подобно на това в равнобедреният триъгълник ъглите при основата са еднакво големи. Каза още, позовавайки се на Хераклит, че всичко се мени и със сигурност можем да познаваме само неизменното, като например четно и нечетно, окръжност и права.
Сократ: Тези примери са достатъчни. Теетет убеди и мене, че чрез математиката може да получим съвсем сигурни знания за нещата противно на това, което ни дава животът и другите науки. Да опитаме сега да обобщим постигнатото. Струва ми се, че математиката се занимава с несъществуващи неща, и от тях е в състояние да извлече и установи нeпокорими истини. Нали така бихме могли да обобщим това, което постигнахме досега чрез внимателно и задълбочено обмисляне.
Е добре. Отговори тогава на моите въпроси. Видяхме вече, че математикът сам създава понятията, които изследва. Кажи сега, означава ли това, че той избира понятията така, както му харесва, според собственото му желание?
Хипократ: В моите представи е точно така. По-рано ние сравнявахме математиката с поезията. Аз смятам, че математикът избира понятията си така свободно, както поетът - героите си. И както поетът придава на своите герои такива характерни черти, каквито намери за добре, математикът въвежда понятията и им приписва такива свойства, каквито намери за добре.
Сократ: Ако беше така, Хипократе, щеше да има толкова вида математика, колкото математици съществуват. Ако всеки математик произволно избира понятията, навярно никой друг не би се занимавал точно с тях. Как става така, че по-голямата част от математиците постигат съгласие кои понятия да изследват? Когато например говорят за числата, всички мислят за едни и същи числа. Същото става и с правите, кръговете, квадратите и правилните тела.
Хипократ: Обяснението не е ли в това, че хората мислят по един и същ начин?
Сократ: Хипократе, нека не се задоволяваме с едно обяснение, докато не го огледаме от всички страни. Защо често се случва математици, които живеят далеч един от друг - единият в Тарент, а другият на остров Самос, да достигнат до една и съща истина, без да се познават помежду си? Никога обаче не съм чувал двама поети да са написали едни и същи стихове независимо един от друг.
Хипократ: И аз не съм чувал такова нещо, а сега се сетих какво ми разправи веднъж Теетет: той открил нещо много интересно. Ако си спомняш добре, ставаше дума за несъизмеримите величини. Теетет го разказал на Теодор. От своя страна последният му показал писмото от Архит, в което просто дума по дума било описано същото.
Сократ: Виждаш ли, приятелю, в поезията това не може да се случи. Аз също бих могъл да ти дам много доказателства. Как става така, че математиците винаги съумяват да постигнат съгласие по въпроса, що е истина? А за ръководството на държавата и държавния строй не само персите, а и спартанците мислят различно от нас. Дори атиняните в повечето случаи не са единодушни по тези въпроси.
Хипократ: Това лесно се обяснява, Сократе. Когато става дума за държвани дела, хората се ръководят не само от търсене на истината, а им влияят и техните лични интереси. Те ги изправят един срещу друг. Такова нещо в математиката няма. Математиците се ръководят единствено от жаждата за опознаване на истината.
Сократ: Искаш да кажеш, Хипократе, че математиците се стремят към някаква истина, намираща се вън от тях и напълно независима от техните личности?
Хипократ: Да.
Сократ: С други думи, стигнахме дотам, че те не избират своеволно понятията, въпреки че биха могли да го направят, а по някаква, засега неизвестна за нас причина са напълно единодушни в това отношение и се стремят към истина, намираща се вън от тях. До тази тайна ние все още няма да стигнем.
Хипократ: Правилно, но поне да се опитаме да я достигнем.
Сократ: Ако имаш още малко търпение, можем да опитаме. Кажи ми според тебе какво е общото между мореплавателя, който е открил никому неизвестен досега остров, и художника, който смесвайки боите, е получил нови багрила, каквито никой преди него не е получавал?
Хипократ: И двамата са обогатили човечеството с нещо ново.
Сократ: А каква разлика ще посочиш между тях?
Хипократ: Смятам, че мореплавателя трябва да наречем откривател, защото е открил нещо - един остров, който и преди е съществувал, но никой не е знаел за него, докато художникът трябва да наречем изобретател, защото е изнамерил нещо - един нов цвят, който не само че е бил никому непознат, а и въобще не е съществувал по-рано.
Сократ: По-точен отговор от този не можеш да дадеш. Кажи ми сега, според тебе, ако един математик достигне до нова математическа истина, той открил ли я е или я е изнамерил? С други думи - математикът откривател ли е или е изобретател?
Хипократ: Труден въпрос. Аз нямам никакъв опит в тази област, но чутото от Теетет за начина, по който Теодор извършва изследванията си, ми подсказва, че можем да сравним математиката с изобретателя, но все пак е по-добре да го наречем откривател. Точно това ме влече към математиката. Струва ми се, че математиците са като храбрите мореплаватели - впускат се в морето на непознатите мисли и изследват бреговете, островите и водовъртежите му.
Сократ: Много добре го казваш, Хипократе. И на мене ми се струва, че математикът е по-скоро откривател, отколкото изобретател. Но ти май се съмняваш в отговора си. Какво имаше предвид, когато каза, че математикът прилича на изобретател?
Хипократ: Мисля за едно предишно заключение, към което ме подтикна - че математикът сам създава понятията, които изследва. Когато въвежда ново понятие, той действува като изобретател. Но когато изказва и доказва твърдения - математиците ги наричат теореми - за въведени вече понятия, той действува като откривател. Това, което ми разказа Теетет, сега аз разбирам така: откриването на теореми играе по-голяма роля в работата на математика, отколкото създаването на понятия. Дори и най-простите понятия, като число или делимост, повдигат извънредно много въпроси, а математиците са дали отговор досега на една незначителна част от тях.
Сократ: Както виждам, Хипократе, Теетет те е научил на най-различни неща и ти много добре си ги усвоил. Според мене ти правилно разсъждаваш за работата на математика като откривател и изобретател. Какво би казал, ако обобщя така - математикът е на първо място откривател и е дотолкова изобретател, доколкото трябва да бъде такъв всеки откривател. Впрочем ако един мореплавател иска да достигне места, на които не е стъпвал човешки крак, той трябва да бъде и изобретател. Той трябва да построи такъв кораб, който се държи по-здраво върху бурното море от досегашните кораби. По мое мнение новите понятия в математиката са като новия вид кораб, който по-бързо и по-сигурно от старите кораби носи по разпененото море към непознати краища жадния мореплавател.
