Предварителен изпит по математика за кандидат-студенти 2007

Пробен изпит по математика в ТУ-София, ТУ-Варна - 12.05.2007

Задачите са изпратени от Бояна Николова от СОУ "Гео Милев" - Варна

1. а) Седмият член на аритметична прогресия в равен на 5.25, а сумата на първите седем члена на тази прогресия е равна на 31.5. Да се намерят първият член и раликата на прогресията.
б) Да се реши уравнението: lod₂[log_0,5(x² + 2x + 1)] = 1

2. Да се намерят стойностите на реалният параметър a, за които уравнението
(a - 1)3^{2x + 1} - (4a + 2)3^x + a + 1 = 0
има два реални корена, чието произведение е отрицателно.

3. В правоъгълника ABCD страната AB e три пъти по-малка от страната BC. Нека F e вътрешна точка за правоъгълника ABCD, като BF = √17, CF = √2 и DF = 1.
a) Да се намери синусът на DCF.
б) Да се намери отношението на лицето на четириъгълника ABFD и лицето на триъгълника DCF.

4. Центровете на две сфери с радиуси равни на 1 лежат на височината на прав кръгов конус. Едната сфера се допира до околната повърхнина на конуса, а другата до нея и до основата на конуса. Да се намери радиусът на основата на конуса, при който обемът е най-малък.