Math10.com

English

Нач.

Форум

Примерен тест за ДЗИ(матура) по математика

Автор на теста е:
г-н Николай Чакъров от Шумен
ПГОХХТ "Проф. д-р Асен Златаров"

Изпратете и вашите материали на: math10.com@gmail.com

УКАЗАНИЕ

Формат на теста

Тестът съдържа 28 задачи по математика

Тестови задачи от двата вида
• 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговор, от които само един е верен
• 5 задачи със свободен отговор
• 3 задачи, решенията на които се представят в писмен вид с необходимиге обосновки
Максимален брой точки на целия тест е 100

Време на работа – 4 астрономически часа.

I Част

Задача 1. Стойността на израза x₁(1 - x₂) + x₂, където x₁, x₂ са корени на уравнението x² - x + 1 = 0 е:
1      0      2      -1

Задача 2. Проверете кои от числата са корени на уравнението x² + 3x - 4 = 0:
1 и 4      4 и -1      -1 и -4      1 и -4

Задача 3. Кои от числата са корени на уравнението
√x² + 4x - 5 = 2x + 3
-2      няма решение      -2/3      -1

Задача 4. Числото 1 не е корен на уравнението
$\frac{2x^2 - x - 1}{x - 2} = 0$
$x^4 + x^2 - 2 = 0$
$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$

Задача 5. Кое от числата е най-голямо?
$\frac{4}{7}^{-\frac{2}{3}};\frac{49}{16}^{\frac{3}{4}};\frac{16}{49}^{-\frac{1}{4}}$
$\frac{4}{7}^{-\frac{2}{3}}$      $\frac{49}{16}^{\frac{3}{4}}$      $\frac{16}{49}^{-\frac{1}{4}}$      равни са

Задача 6. За коя стойност на х съществува $log_{\frac{1}{x}}(5-x)$
x > 5      x < 5      x > 0      x принадлежи

(0, 1) и (1, 5)

Задача 7. Решенията на неравенството 4x² ≥ 16 са
x принадлежи

[-2;2] x принадлежи

(-∞;-2] и [2;+∞)      x ≥ -2      x ≥ 2

Задача 8. Изразът sin(α + β) - sin(α - β) след опростяване добива вида:
2cos α sin β      2cos α      2sin β      0
v
Задача 9. Кое от числата НЕ Е от дефиниционната област на функцията
ƒ(x) = √x² - 4x + 3
x = 2      x = 1      x = 3      x = 5

Задача 10. Ако $cosx=-\frac{24}{25}$ и $x\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$ , то кои са стойностите на sinx и tgx
$sinx = \frac{7}{25}, tgx = \frac{-7}{24}$
$sinx = \frac{-7}{25}, tgx = \frac{7}{24}$
$sinx = \frac{-7}{25}, tgx = \frac{7}{24}$
$sinx = \frac{-7}{25}, tgx = \frac{24}{7}$

Задача 11. Решение на неравенството 6x² - 29 ≥ 5x² - 7x - 29 са:
x принадлежи

[0; +∞) x принадлежи

[-7; 0] x принадлежи

(-∞; -7] и [0; +∞) x принадлежи

(-∞; -7]

Задача 12. Ако х принадлежи

[1;3],то най-малката стойност на y = x² е:
1      9      0      ½

Задача 13. Ако $A=lg\frac{1}{2}-lg\frac{3}{2}+lg\frac{3}{4}-lg\frac{1}{4}$ , то А.log₅5⁵ е равно на:
1      5      -1      0

Задача 14. Посочете стойността на израза: 3sin180° - xos0°
0      -1      3      2

Задача 15. Решенията на неравенството
(log₂x)² - log₂x - 2 ≤ 0 са:
½ < x < 4      x принадлежи

(0;1] x принадлежи

[-1;2] x принадлежи

[2;∞)

Задача 16. Точките M и N са средите на страната AC и BC на триъгълник АВС. Лицето на триъгълник АВС е 16 см². Лицето на триъгълник МNС е
4 64 2 ½

Задача 17. Ако в ромба АВСD са дадени диагонал АС = d и

ABC = β, то лицето на ромба АBCD е:
$\frac{d^2sin \beta}{2}$
$\frac{d^2cotg\frac{\beta}{2}}{2}$
$\frac{d^2sin \beta}{2}$
$\frac{d^2cotg }{2}$

Задача 18. Вероятност на случайно събитие НЕ може да бъде числото:
√3      log₃√3      $sin{\frac{3 \pi}{4}}$      2^-2

Задача 19. Ако дължината на страната на един триъгълник е 6 см, а тангенсът на срещуположния й ъгъл е равен на 3, то радиусът на описаната около този триъгълник окръжност е равен на?
2√10      √10      6√10      $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Задача 20. Ако x₁ = 1; x₂ = sin30°, то квадратното уравнение с корени x₁ и x₂ е:
x² - 3x + 2 = 0      2x² - 3x + 1 = 0      x² + 3x - 2 = 0      2x² + 3x - 1 = 0

II Част

Задача 21. Да се реши уравнението $\sqrt{3x + 4} - \frac{1}{\sqrt{3x + 4}} = 3$

Задача 22. В триъгълника АВС със страна АС = 5 см, ВС = 12 см и медиана СМ = 6,5 см. Намерете лицето на триъгълника.

Задача 23. Намерете решението на системата:
|log₃(y/4) = 1 - x
|3^x + y = 7.

Задача 24. Да се реши неравенството
$3^{\frac{x - 3}{3x - 2}} < 3$

Задача 25. Да се намери колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 0, 1, 2, 3 и 4 така, че да не се повтаря нито една от тях.

III Част

Задача 26.Да се реши уравнението x⁴ - 2ax³ + a²x² - 2x² + 2ax - 15 = 0, където a е реален параметър.

Задача 27. Три дадени числа със сума 39 образуват геометрична прогресия. Първото от тях е пети, а второто – осми член на аритметична прогресия на която сумата от първите 9 члена е равно на третото дадено число. Да се намерят прогресиите.

Задача 28. В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ телесният диагонал AC₁ има дължина √48. Върху основните ръбове AD и BC са избрани съответно точките M и N така, че AM:MD = CN:NB = 3:1. През точките M, N и C₁ е построена равнина λ. Да се намери косинусът на ъгъла, който равнината λ сключва с равнината на околната стена CDD₁C₁ на куба и отношението на обемите на двата многостена, на които равнината λ разделя куба.

Отговори - 2 част

21 задача x > -4/3; x = (1 + √13)/2
22 задача 20√13
23 задача (1; 4) (log₃4; 3)
24 задача x принадлежи (-∞; -1/2) и (2/3; +∞) 25 задача 48

Отговори - 3 част

Критерии за разпределение на точките на задачите от част ІІІ

Задача 26.
• Получаването на уравнението (x² - ax)² - 2(x² - ax) - 15 = 0 след преобразуване -> 8 точки;

• Полагането на x² - ax = y и намирането на корените на уравнението y² - 2y - 15 = 0, y₁ = -3, y₂ = 5. -> 2 точки;

• Решаването на уравненията
$y_1 = -3, x^2 - ax = -3, x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 3}}{2}$ при |a| > 2√3 -> 3 точки;
$y_2 = 5, x^2 - ax = -3, x_{3,4} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 20}}{2}$ за всяко а -> 3 точки;

• Оформяне на отговора -> 1 точка.

Задача 27
• За геометричната прогресия b₁, b₂, b₃ написването на свойствата и системата
|b₁ + b₂ +b₃ = 39
|b₂² = b₁b₃
и като се има в предвид b₁ = a₅, b₂ = a₈ и b₃ = S₉ на аритметичната прогресия a₁, a₂,...., a₉ със сума S₉ и системата записана във вида
|a₅ + a₈ + S₉ = 39
|a₈² = a₅S₉
еквивалентна на
|a₁ + 4d + a₁ + 7d + $\frac{2a_1 + 8d}{2}.9 = 39$
|(a₁ + 7d)² = (a₁ + 4d)9(a₁ + 4d)
-> 10 точки;

• Решаването на системата
|10(a₁ + 4d) + (a₁ + 7d) = 39
|(a₁ + 7d)² = 9(a₁ + 4d)²
която води до решаването на системите
|10(a₁ + 4d) + (a₁ + 7d) = 39
|(a₁ + 7d) = 3(a₁ + 4d)
и
|10(a₁ + 4d) + (a₁ + 7d) = 39
|(a₁ + 7d) = -3(a₁ + 4d)
-> 1 точка;

• Решаването на първата система и намирането на прогресията b₁ = 3, q = 3 и a₁ = -5, d = 2 -> 2 точки;

• Решаването на втората система и намирането на прогресията b₁ = 39/7, q = -3 и a₁ = 247/7, d = -52/7 -> 2 точки.

Задача 28.
• Определяне на вида на сечението и ъгъла φ(λ, CC₁D₁D) -> 8 точки;

При така определените означения AB = a, AC₁ = a√3 => a = 4 => BN = DM = 1, NC = AM = 3.
Доказва се MP || NC₁ - защото PD || CC₁, MD || NC. То сечението на куба с равнината λ – трапец NC₁PM.
Нека прекараме CK C₁Q. Проекцията на NK върху равнината CC₁D₁D е CK, NC (CC₁D₁D) => NC CK, но CK QC₁ (от Т трите перпендикуляра) => NK QC₁ => (λ, CC₁D₁D) = NKC = φ
• Намирането на cosφ -> 2 точки;
От подобието на триъгълниците MDQ ≈ CNQ => $\frac{QD}{QD + 4} = \frac{MD}{NC} = \frac{1}{3}$ . От тук QD = 2, QC = 6.
От правоъгълния триъгълник QCC₁ намираме $CK = \frac{6.4}{\sqrt{6^2 + 4^2}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$ . От правоъгълния NCK следва, че $cos \phi = \frac{CK}{NK} = \frac{12}{\sqrt{13.\sqrt{3^2 + \frac{12^2}{13}}}} = \frac{4}{\sqr{29}} = \frac{4\sqrt{29}}{29}$ .
Забележка: За пресмятане на cosφ може да се използва и формулата cosφ = S₁/S₂ където S₁ е лицето на проекцията на сечението NC₁PM върху околната стена CDD₁C₁, а S₂ е лицето на сечението NC₁PM.

• Определяне на обема на пресечената пирамида използвайки формулата $V_1 = \frac{h}{3}\left(B + B_1 + \sqrt{BB_1}\right)$ -> 2 точки;
V₁ - обема на пресечената пирамида NCC₁MDP с основи триъгълник NCC₁, MDP и височина h = CD = 4. Пресмятаме $B = S_{MCC_1} = \frac{CC_1.CN}{2} = 6$ . От DP:CC₁ = QD:QC = 1:3 следва DP = 4/3. Тогава $B_1 = \frac{DM.DP}{2} = \frac{2}{3}$ Следователно $V_1 = \frac{h}{3}\left(B + B_1 + \sqrt{BB_1}\right) = \frac{104}{9}.$

• Определяне на V₂ на другия многостен е V₂ = V - V₁ = 472/9 -> 2 точки;

• Оформяне на решението V₁ : V₂ = 13 : 59.