Основни методи за интегриране

Вие четете за интеграли благодарение на проф. Михаил Константинов -
зам. декан на УАСГ, виден математик и общественик

В тази глава са разгледани основните методи за интегриране: непосредствено интегриране, интегриране чрез заместване и интегриране по части. В удачното комбиниране на тези подходи се състои майсторлъкът на неопределеното интегриране. При интегрирането се наблюдава един интересен феномен: при използване на различни методи за пресмятане на даден интеграл е възможно да се получат различни по форма резултати. Например след прилагане на метод 1 и на метод 2 получавате две примитивни F₁ и F₂, които съвсем не си приличат на външен вид. Ние обаче знаем, че две примитивни могат да се различават само с адитивна константа, т.е. ако сме работили вярно би трябвало да е изпълнено F₂(x) = F₁(x) + С, където С е константа. В това именно е загадката: константа-

та С така може да е скрита в израза F₁ (х) + С, че коренно да го промени по форма в сравнение с F₁(x).

Естествено, ако след интегриране по два начина сме получили два различни по форма резултат, това може да е свързано с малко неприятния факт, че единият резултат е грешен ¹.

4.1 Непосредствено интегриране

Методът на непосредственото интегриране се състои в използване на таблицата на основните интеграли (стр. 20), като при необходимост подинтегралният израз предварително се преработва. При този подход се спазват определени практически правила и в частност се използват някои общи формули.

1. Ако е възможно, подинтегралната функция се представя като сума на функции, чиито интеграли са известни.

Пример 5 В следващия интеграл използваме формулата
sin²x + cos² х = 1:

2. Ако е известен интегралът ∫ g(x)dx = G(x)

то можем да пресметнем интеграл от ƒ(x) = g(ах + b) no формулата

∫ g(ax + b)dx = 1/aG(ax + b).

Пример 6

∫ cos(4x - 1)dx = 1⁄4sin(4x - 1).

3. Ако f(x) = u'(x)⁄u(x), то

∫ u'(x)⁄u(x) dx = ∫ du(x)⁄u(х) =ln|u(x)|.

Пример 7

∫ cos x - sin x ⁄sin x + cos x + 2 = ∫ d(sin x + cos x + 2) ⁄sin x + cos x + 2 = ln|sin x + cos x + 2| .

4. Ako f(x) = u^d(x)u'(x), d ≠ -1, то

∫ u^d(x)u'(x)dx = ∫ d u^d+1(x)⁄d+1 = u^d+1(x)⁄d+1 -

Пример 8

5. Обобщение на 3 и 4 e формулата

4.2 Интегриране чрез полагане

Този метод всъщност обобщава предишния. При него се въвежда нова интеграционна променлива така, че първоначалният интеграл да се сведе до интеграл, който знаем как да решим. При този метод се използва формулата

6. Понякога е удобно да се използват приведените по-долу формули, в които a e ненулева константа:

ният интеграл да се сведе до интеграл, които знаем как да решим. При този метод се използува формулата

∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(g(t))g'(t)dt

където е извършено полагането (субституцията) x = g(t).

Пример 9 Нека

Ако направим полагането x = g(t) = 1⁄t имаме dx = -dt⁄t² и

Следователно

Понякога е по-удобно полагането да се прави в обратна посока, а именно t = γ(x) където γ ^e обратната функция на функцията g.

Пример 10 При решаване на интеграла

F(x) = ∫ x³dx⁄(2 + x²)²

полагаме t = 2 + x², откъдето dt = 2x dx и х² = t - 2. Следователно

F(x) = 1⁄2 ∫ (t - 2)dt⁄t² = 1⁄2 ∫ dt⁄t - ∫ dt⁄t² = 1⁄2lnt + 1⁄t = 1⁄2ln(2 + x²) + 1⁄2 + x²

4.3 Интегриране по части

Методът за интегриране по части се състои в прилагане (понякога многократно) на формулите

∫ u(x) dv(x) =u(x) v(x) - ∫ v(x) du(x)

или

∫ u(x) v(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u(x) dx

Ако непосредственото прилагане на тези формули не е очевидно, налага се предварителна работа, наричана понякога вкарване под знака на диференциала. Нека например пресмятаме интеграла

F(x) = ∫ ƒ(x)dx.

Тогава можем да опитаме да представим функцията ∫ като произведение: ƒ(x) = u(x)w(x) така че да са изпълнени условията:

- Интегралът

v(x) = ∫ w(x)dx

се пресмята лесно, и

- Интегралът

G(x) = ∫ v(x) u(x)dx

се пресмята в окончателен вид, или във всеки случай е (или изглежда) по-прост от първоначалния интеграл. Първата фаза е именно вкарването на w(x) под знака на диференциала,

при което подинтегралният израз се преработва съгласно равенството

ƒ(x)dx = u(x)w(x)dx = u(x)dv(x).

Остава да си спомним, че

F(x) = u(x)v(x) - G(x).

Макар че няма общи принципи за това какво е най-добре да вкарваме под знака на диференциала, все пак добре е да се помнят следните правила:

1) Вкарвайте показателни и тригонометрични функции (те се вкарват лесно, а и запазват вида си след интегриране; така новополучените интеграли не се усложняват допълнително). Това означава в израза w(x) да съсредоточите по възможност показателни и тригонометрични функции, вж. примери 11 и 12 по-долу.

2) Изразите, съдържащи логаритми и обратни тригонометрични функции (ако има такива) ги концентрирайте в множителя u(х). Причината е, че след диференциране тези изрази се преобразуват в алгебрични (и в частност рационални) изрази, при което интегралът G(x) ce оказва (евентуално!) по-прост от F(x), вж. примери 13 и 14.

Пример 11

∫ x cos x dx = ∫ x d sin x = x sin x - ∫ sin x dx = x sinx + cos x

Пример 12 Да разгледаме интегралите С(х) = ∫ e^axcos bx dx

S(x) = ∫ e^axsin bx dx.

Имаме

C(x) = 1⁄b ∫ e^axsin bx = 1⁄b (e^ax sin bx - a ∫ e^ax sin bx dx

= 1⁄b(e^ax sin bx - aS(x)).

Аналогично

S(x) = -1⁄b &intl; e^axd cos bx = -1⁄b (e^ax cos bx - a ∫ e^ax cos bx dx )

= -1⁄b (e^ax cos bx - aC(x)).

Последните две уравнения образуват система за определяне на С(х) и S(x), която има решение

Пример 13

∫ ln x dx = x ln x -∫ x dx⁄x = x(ln - 1)

Пример 14

∫ xarctanx dx = 1⁄2 ∫ arctanx d(x²) = 1⁄2 (x²arctanx -]

= 1⁄2(x²arctanx -I

= 1⁄2 (x² arctanx - x + arctanx) .

Използува се и следното обобщение на формулата за интегриране по части

∫ u(x)v⁽ⁿ⁾(x)dx = u(x)v^{n - 1}(x) - u′(x)v^{(n - 2)}(x) + .... + (-1)^{n - 1}

4.4 Метод на неявната функция

При този метод дясната страна на равенството

F(x) = ∫ ƒ(x)dx

с редица преобразувания (например чрез интегриране по части) се свежда до израза U(x,F(x)). Тогава F(x) може да се определи като неявна функция от уравнението

F(x) = U(x,F(x)).

За съжаление полученото уравнение понякога се оказва тъждество. Това от една страна е радостно (показва, че сме работили вярно или поне, че сме допуснали четен брой грешки), но от друга не е толкова радостно, защото интегралът остава нерешен.

По същество този метод беше използван в пример 12. В следващия пример разглеждаме първия интеграл от пример 12, който след две интегрирания по части се свежда до уравнение за първоначалния интеграл.

Пример 15

= C(x) = 1⁄b ∫ e^ax d sin bx = 1⁄b (e^ax sin bx - a ∫ e^ax sin bx dx = 1⁄b(e^ax sin bx + a⁄b ∫ e^ax d cos bx) = 1⁄b(e^ax sin bx + a⁄b(e^ax cos bx - aC(x))) = U(x,C(x)).

От това уравнение получаваме израза за С(х) (вж. пример 12).

4.5 Рекурентен метод

Този метод се използува за намиране на интеграли

F_n(x) = ∫ ƒ_n(x)dx

зависещи от натуралното число n при условие, че са известни (или лесно могат да се намерят) първите к > 1 интеграла

F⁰(x) = ∫ ƒ₀(x)dx,....F_k-1(x) = ∫ ƒ_k-1(x)dx.

Тук с помощта на преобразувания (най-често интегриране по части) дясната страна на интеграла F_n (х) при n > k се свежда до израз от вида

F_n(x) = V(x,F_n-1(x),...,F_n-l(x)).

Това е именно рекурентната зависимост, която заедно с изразите за първите k интеграла ни дава възможност да намерим (поне по принцип) F_n(x) за всяко n > k.

Пример 16 Нека n > 2 е цяло число, и

F_n(x) = ∫ tanⁿ xdx = ∫ tan^n-2 x (1⁄cos²x - 1) dx =

= ∫ tan^{n -2}x d tan x - ∫ tan^n-2x dx = tan^n-1x⁄n - 1 - F_n-2(x)

Така при n четно свеждаме интеграла до

F₀(x) = ƒdx = x а при n нечетно - до

F₁ (х) = ∫ tanх dx = - -ln | cos x|

Понякога е по-лесно да се работи по-посока на увеличаване на индекса n, т.е. търсят се преобразувания, чрез които F_n(x) се изразява с помощта на F_n+1(x),..., F_n+k(x):

F_n(x) = W(x,F_n+1(x),... ,F_n+k(x)).

Cera, обаче, е необходимо да изразим F_n+k(x) чрез F_n(x),..., F_n+k-1(x), което може да затрудни решението.

При този подход не е необходимо да се спазват правилата 1) и 2) от стр. 26, т.е. допуска се трансформиране на първоначалния интеграл в посока на усложняване.

Пример 17 Нека n > 1 и

F_n(x)= ∫ xⁿe^axdx.

Имаме

F_n(x) = ∫ e^ax dxⁿ⁺¹ =(xⁿ⁺¹e^ax -a ∫ xⁿ⁺¹e^ax dx)