Неопределен интеграл
Вие четете за интеграли благодарение на проф. Михаил Константинов -зам. декан на УАСГ, виден математик и общественик
2.1 Примитивна и неопределен интеграл
Нека J е интервал и f : J ->R = (-∞, ∞) е зададена функция. Диференцируемата функция F : J -> М се нарича примитивна на функцията f(в интервала J), ако е изпълнено F' = f. Примитивната F очевидно е непрекъсната в J (следва от диференцируемостта на F в J).
Ако функцията F : J -> М е непрекъсната в интервала J и равенството F'(x) = f(x) е изпълнено навсякъде в J c изключение на краен брой точки х (в които точки F евентуално не е диференцируема), to F се нарича обобщена примитивна на f в J. От съображения за пълнота се приема, че ако f има примитивна F, то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща c F.
Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието F'(x) = f(x) да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности xi, на аргумента х. Някои автори наричат „точна примитивна" и „примитивна" това, което ние по-горе нарекохме „примитивна" и „обобщена примитивна". И накрая, възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска точките x, за които равенството F'(x) = f(x) e нарушено, да са точки на прекъсване на F. За приложенията, обаче, са важни само непрекъснатите примитивни.
Изобщо читателят трябва да е наясно, че макар математиката да е точна наука (всъщност математиката е единствената точна наука), в много области няма единство на термините, много термини са претоварени с различни значения, и т.н. Това впрочем не пречи на математиците да се занимават с науката си, а на останалия свят - да продължава да функционира.
Едно обобщение на понятието примитивна е дадено в упражнение 6 на настоящия раздел.
Ясно е, че не всяка функция ∫ има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу (френски математик, 1842-1917), ако функцията F : [a,b] R e диференцируема, то производната й F' = ∫ : [а, b] ->R приема всички стойности между числата f(a) и f(b). Следователно функцията ∫ няма примитивна, ако има точки на прекъсване
от 1 род 1
Пример 1 Функцията R -> R, определена от
(това е т.н. сигнум-функция, или знакова функция защото е равна на знака на аргумента), няма примитивна в интервалите J, съдържащи точката х = 0 (по-точно е да се каже, че няма примитивна свиването signjj на sign върху J в случаите 0 £ J). Същевременно функцията sign има обобщена примитивна F, определена от F(x) = |x|, тъй като F е непрекъсната и F'(x) = sign(a;) при х ^ 0. В точката х = 0 функцията F няма производна.
В същото време функцията G :R-> М, определена от
удовлетворява равенството G'(x) = sign(x) при х ≠ 0, но не е обобщена примитивна, защото има прекъсване при х = 0 .
Интересно е да се види кои функции имат примитивна. Такива са например непрекъснатите функции (вж. задача 6 от раздел 10). Но една функция може да има прекъсване от 2 род (и в частност може да не е ограничена) и все пак да има примитивна, както е показано в пример 2.
Пример 2 Функцията ∫ : R -> М, определена от
има прекъсване от 2 род при х = 0 и не е ограничена в околност на тази точка. Същевременно ∫ има примитивна F, която се дава от
Примери на функции с прекъсване, които имат обобщена примитивна, са дадени в задачи 19 и 20 на раздел 10.
Необходимо е да се отбележи, че повечето функции с инженерно приложение имат поне обобщена примитивна. Функция, която няма обобщена примитивна, е дадена в пример 3.
Пример 3 Функцията на Дирихле (немски математик, 1805-1859),
няма не само примитивна, но и обобщена примитивна.
За пример на функция с една точка на прекъсване, която няма обобщена примитивна, виж задачи 21 и 22 от раздел 10.
Може да се окаже, че функцията ∫ : J ->Rняма примитивна (съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на ∫ в някой подинтервал К С J, който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата ∫ има съответна примитивна в К.
Ако F и Ф са две примитивни на ∫ , то те могат да се различават само с адитивна константа. Така, ако F е примитивна на ∫ , всяка друга примитивна Ф на ∫ се определя от Ф(x) = F(x) + С, където С е константа.
Множеството на всички примитивни на дадена функция ∫ се нарича неопределен интеграл на ∫ и се бележи с Int(ƒ). Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл (!). Действително, ако ∫ има примитивна F, to Int(ƒ) ce състои от всички функции, които се отличават от F с адитивна константа и следователно множеството Int(ƒ) има мощността на множеството М на реалните числа. Ако ∫ няма примитивна, to Int(ƒ) е празно, т.е. Int(ƒ) = 0.
За примитивната F на функцията ∫ е прието означението
F(x) = ∫ ƒ(x)dx
или съкратено F = ∫ ƒ. Тук ∫ се нарича подинтегрална функция, ƒ(x)dx ce нарича подинтегрален израз, a ∫ e знакът на интеграла.
Някои автори означават с ∫ ƒ неопределения интеграл, но тогава се налага да се уточнява какво се разбира например под сума на две множества. Затова ние предпочитаме да използваме означението ∫ ƒ за някоя от примитивните на ƒ.
Операцията намиране на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране, или съкратено интегриране когато това не води до недоразумения (проблемът е, че с термините „интеграл" и „интегриране" в математиката се
означават и други неща). В този смисъл термините „примитивна" и „интеграл" се използват като синоними.
Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции в смисъл, че
d ∫ ƒ(x)dx = ƒ(x)dx, ∫ dF(x) = F(x).
Непосредствено се проверява, че ако функциите ƒ,g : J ->R имат примитивни и α, β са константи, то
∫ (αƒ(x) + βg(x))dx = α ∫ ƒ(x)dx + β ∫ g(x)dx.
2.2 Определен интеграл no Нютън
Нека F е примитивна на ƒ в J и xo 
J е фиксирана точка от интервала J. Тогава функцията Ф, определена от Ф(x) = F(x)-F(xo), e също примитивна на ∫ в J, която удовлетворява условието Ф(xo) = 0. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно
В подинтегралния израз ƒ(t)dt променливата t e няма, т.е. тя може да се замести с всяка друга променлива, например
Използува се и съкратеното означение
He e трудно да построим примитивна Ψ на ƒ, удовлетворяваща условието Ψ(xo) = yo където yo R е произволно число. Очевидно това е функцията, определена от
Ако a,b G J (а < 6), числото
се нарича определен интеграл no Нютън (английски математик и физик, 1643-1727) от функцията ∫ в интервала [а, b]. Определеният интеграл се записва и като
Използва се и съкратеният запис
ƒ, който даже е по-логичен доколкото изразът j f(x)dx всъщност не зависи от х и х може да бъде заменено с всяка друга буква.
Определен интеграл може да се въведе и по друг начин, например по Риман (немски математик, 1826-1866), по Стилтес (холандски математик, 1856-1894), по Лебег (1875-1941) и т.н. (вж. част 2 от книгата). Когато съществуват които и да са два различни определени интеграла от една и съща функция в даден интервал, те са равни помежду си. Възможно е обаче някои от определените интеграли да не съществуват. Това именно е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл.
Изобщо, на дадена функция ∫ : J -> и на даден подинтервал [a,b] C J можем да съпоставим величината
I = I(ƒ,[a,b]).
Тази величина ще наричаме определен интеграл от функцията ∫ в интервала [а,b], ако са изпълнени някои условия, например
1) Линейност: Ако ƒ, g : J -> и α, β са числа, то
I(αƒ + βg, [a,b]) = αI(ƒ, [a,b]) + βI(g, [a,b])
където функцията αf + fig е определена от х -> αf(x) + βg(x).
2) Адитивност: Ако с [а, b], то
I(ƒ,[а,с])+I(ƒ,[с,b]) = I(ƒ,[а,b]).
В частност, ако a = хo < х1 <.... < хn = b е разбивка на интервала [а, b], то
Условията 1) и 2) не са достатъчни за съдържателното дефиниране на понятието интеграл, тъй като те са в сила например в тривиалния случай, когато сме положили I(ƒ, [a, b]) = 0. Поради това се въвежда и следното условие.
3) Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция х -> 1, то
I(1, [a, b]) = b - a.
Лесно се проверява, че определеният интеграл no Нютън удовлетворява горните три условия.
Самото понятие определен интеграл по Нютън може да се обобщи така, че да обхване практически всички важни случаи както в инженерната практика, така и в останалите приложни науки. Действително, определеният интеграл по Нютън в изложената по-горе форма не съществува, ако функцията ∫ няма примитивна в интервала [а,b] и в частност, ако ∫ има прекъсване от първи род. Обаче такива функции се използват понякога в математическото моделиране. Поради това е въведено и следното обобщение на понятието определен интеграл по Нютън.
Нека функцията ∫ има обобщена примитивна F в интервала [а,b], като равенството F'(x) = f(x) e нарушено само в точките xo,x1,... хn £ [a, b] (xk& < xk+i) на прекъсване на ƒ, в които F'(xk) не съществува. Напомняме, че в същото време ∫ може да има точки на прекъсване от втори род, в които обаче F'(x) съществува и е равно на j(x) (вж. пример 2).
В този случай числото
f(x)dx = F(b) - F(a)
се нарича обобщен интеграл no Нютън от функцията ∫ в интервала [а,Ь].
Горното определение се оправдава от следната конструкция, която „отстранява" прекъсванията, пречещи на обикновения (необобщен) определен интеграл по Нютън да съществува.
Винаги можем да смятаме, че a = хo и хn = b, тъй като в противен случай просто ще прибавим една или две точки към съвкупността {хk}.
Да разгледаме функциите ƒk : (хk, хk+1) ->R(к = 0,1,..., n- 1), определени от ƒk(x) = ƒ(x), x (xk, xk+1). Тези функции са непрекъснати и следователно съществуват примитивните Fk : (xo + 0) = Ak, такива че F'k = fk. Да предположим, че съществуват границите
Fk(xk +0) = Ak, Fk(xk+1 - 0) = Вk. Тогава числото
ще наричаме обобщен интеграл no Нютън от функцията ∫ в интервала [xkxk+1].
Съгласно свойствата 1)-3) можем да определим обобщения интеграл по Нютън от ∫ в интервала [a, b] като
Остава да покажем, че съществува обобщена примитивна F на ƒ в интервала [а, b], такава че I = F(b) - F(a).
За да построим обобщената примитивна като непрекъсната функция ще „слепим" графиките на функциите Фk = Fk + Ск чрез подходящ избор на адитивните константи Ск. Преди всичко нека да определим функциите Fk в затворените интервали Jk = [xk,xk+1] като положим Fk(xk) = Аk, Fk(xk+1) = Вk. Така функциите Fk и Фk са непрекъснати в Jk и
Ф'(x) = ƒ(x) при х (xk,xk+11).
Условията за слепване на графиките на функциите Φo, Φ1,..., Φn-1 в точките x1, x2, ..., xn-1 са Φj(xj+1) = Φj+1(xj+1) (j = 0,1,..., n-2), откъдето
Fj(xj+1) + Cj = Fj+1(xj+1) + Cj+1 и
Cj+1 = Cj + Bj - Aj+1; j = 0,1,..., n - 2.
Ако изберем C0 произволно, от последната рекурентна зависимост получаваме
Така графиките на Φk се слепват и
При това функцията F : [а,b] -> R, определена от F(x) = Φk(х), х [xk,xk+1], е непрекъсната, и
F'(x) = Φ'k(х) = ƒk(x) = ƒ(x), x (xk,xk+1).
Следователно F e обобщена примитивна на ∫ в [a, b] и тъй като F(a) = Фо(а), F(b) = Фn-1(b), то ∫ = F(b) - F(a).
Горната конструкция е в сила както в случаите, когато xk са точки на прекъсване от първи род, така и когато някои от границите ƒ(xk±0) не са крайни (вж. задачи 19 и 20 от раздел 10).
В досегашните разглеждания приемахме, че a < b. Нищо не пречи да разпространим определението за (обобщен) определен
интеграл no Нютън за случая a ≥ b. Тогава в частност имаме
f(x)dx = 0, f(x)dx = -f(x)dx.
където F e (обобщена) примитивна на ƒ в [a, b].
B горните определения думата „ обобщен" обикновено се изпуска. Така определеният интеграл по Нютън има важното практическо предимство, че се дефинира в термините на примитивната, която често има ясен физически или геометричен смисъл и в много случаи може да се намери в явен вид.
Ще отбележим накрая, че когато определеният интеграл е въведен по друг начин, например по Риман (вж. част 2 от книгата), за функция ƒ, която има обобщена примитивна F, то зависимостта ƒ(x)dx = F(b) - F(a) ce нарича формула на Нютън-Лайбниц в чест на откривателите на диференциалното и интегралното смятане Нютън и Лайбниц (немски математик, 1646-1716).
2.3 Елементарни функции
Да предположим, че сложната функция ∫ е зададена с някакъв аналитичен израз х -> ƒ(x) чрез елементарни функции (т.е., че ƒ(x) се получава в резултат на аритметични действия над елементарни функции и/или чрез заместване на едни елементарни функции в други), например
В този случай се казва още, че ƒ е суперпозиция от елементарни функции. Въпросът сега е кои функции ще наречем елементарни. Това наименование, впрочем, е условно и не означава непременно, че въпросните функции са елементарни в житейския смисъл на думата.
Обикновено към елементарните функции се отнасят степенната функция
х -> xd (d R)
показателната функция
х -> х
логаритмичната функция
х -> log х
както и тригонометричните и обратните тригонометрични функции, например
x → sin x → cos x → tan x = sin x⁄cos x, x → cot x = cos x⁄ sin x
и
x → arcsin x, x → arccos x, x → arctan x, arccot x
Важен клас елементарни функции са хиперболичните функции (хиперболичен синус, хиперболичен косинус, хиперболичен тангенс и хиперболичен котангенс), които се дефинират с помощта на показателната функция както следва
cosh x = ex + e-x⁄2, sinh x = ex - e-x⁄2, tanh x = sinh x⁄cosh x, coth x = cosh x⁄sinh x
Обратните хиперболични функции се дефинират чрез логаритми
За разлика от диференцирането, което се извършва по прости правила и по принцип води да намиране на израз за производната ƒ'(x) в елементарни функции (ако самата функция се изразява в елементарни функции), интегрирането не само е по-трудно, но и понякога не може да се извърши в елементарни функции дори при много прости на вид подинтегрални функции. Често в такива случаи решението, т.е. примитивната F, се търси в т.н. специални функции, каквито са тези от пример 4 по-долу. Естествено, възможността за интегриране на конкретна функция ƒ в елементарни функции зависи от това кои функции сме приели за елементарни (някои автори причисляват към елементарните функции и някои от специалните функции).
Пример 4 Интегралите
не могат да се изразят в елементарни функции. Те са специални функции, наречени интегрален синус и интегрален логаритъм.
Изобщо, интегрирането в много голяма степен е изкуство. За щастие примитивните на много функции са дадени в специални справочници, например [3, 2, 7]. Също така през последните години бяха разработени мощни компютърни системи за нечислени (символни) пресмятания, които дават възможност за интегриране, включително в специални функции [13, 14]. Недостатък на тези системи е недостатъчната им (засега!) универсалност и бързодействие, дори когато се използва мощна техника.
2.4 Упражнения
1. Пресметнете обобщения определен интеграл по Нютън
sign(x)dx
от сигнум-функцията sign (пример 1), където a < b, във всеки от случаите a > 0, b < 0 и ab < 0.
2. Докажете следните свойства на (обобщения) определен интеграл по Нютън:
(α ƒ(x) + βg(x))dx = α ƒ(x)dx + β ƒ(x)dx
ƒ(x)dx + ƒ(x)dx = ƒ(x)dx
където α и β са константи и за всички изписани интеграли се предполага, че съществуват.
3. Дайте пример за две функции ∫ и g, които нямат обобщена примитивна, но за които функцията ƒ+g e непрекъсната.
4. Нека функциите u и υ са диференцируеми в интервала J, нека функцията х -> υ(x)u'(x) има примитивна, и а, b J. Докажете, че определеният интеграл u(x)v'(x)dx съществува и
u(x)v′ (x)dx = u(x)v(x) - v(x)u'(x)dx.
Това равенство се нарича формула за интегриране no части при определен интеграл.
5. Нека К и J са интервали и а, b J. Нека функцията φ : К → R има примитивна Ф, а функцията ∫ : J → R е диференцируема, като ƒ(J) K. Докажете, че
6. Функцията F : J -> R ще наричаме обобщена примитивна от n-ти ред на функцията ∫ : J -> R, ако тя е n пъти диференцируема и i^(n) = ∫ (така, въведената по-рано примитивна се оказва примитивна от първи ред според настоящото определение).
Покажете, че F зависи от n произволни константи.
Ако xо J и y0,y2..., yn-1 ca n произволни числа, покажете, че единствената обобщена примитивна F от n-ти ред на ƒ, удовлетворяваща условията
F(k)(х0)=уk; k = 0,1,...,n-1
се дава от
Авторът на math10.com благодари на проф. Константинов за разрешението да публикува учебника: "Интеграли" да е на страниците на сайта
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на:
