Интегриране на трансцедентни функции
Вие четете за интеграли благодарение на проф. Михаил Константинов -зам. декан на УАСГ, виден математик и общественик
7.1 Интеграли от тригонометрични функции
7.1.1 Универсална субституция
1. Интегралите от вида
F(x) = ∫ R(sin x, cos x)dx
където R е рационална функция, се рационализират във всички случаи с полагането
t = tan x⁄2
при което имаме
Пример 37
Горното полагане се нарича още универсална субституция, което е в чест на факта, че тя винаги решава задачата. За съжаление тази субституция обикновено води до рационални изрази относно t, в които знаменателят е от висока степен. Изобщо, универсалната субституция е „тежката артилерия" при интегрирането на рационални изрази от тригонометрични функции, която естествено не винаги е ефективна (например когато целта е малка).
7.1.2 Други субституции
В следните три случая съществуват по-ефективни способи (в сравнение с универсалната субституция) да се рационализира интегралът, а именно:
1. Ако
R(u, -v) = -R(u,v)
to подходящото полагане е
sin x = t.
Действително, в този случай имаме
dx = dt⁄cos x
и
∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ R1(sin x, cos x)dt
където
R1(u, v) = R(u, v)⁄v
Тъй като R1(u, -v) = R1(u,v), to изразът R1(sin x,cos x) съдържа само четни степени на cos x и се изразява рационално чрез sin x:
R1 (sin x, cos x) = R2(sin x).
Окончателно получаваме ∫ R(sin x, cos x)dx = ∫ R1(sin x, cos x)cos x dx = ∫ R1(sin x, cos x)d sin x = ∫ R2(t)dt
което доказва, че интегралът се рационализира.
Пример 38 В интеграла
F(x) = ∫ sin2x cos3x dx
полагаме t = sin x, dt = cos x dx и получаваме
F(x) = ∫ sin2x(1 - sin2x)cos x dx = ∫ t2(1 - t2)dt = t3⁄3 - t5⁄5 = sin3x⁄3 - sin5x⁄5
2. Ako
R(-u,v) = -R(u,v)
полагането
cos x = t
решава ефективно задачата. Доказателството е както в случая 1.
Пример 39 Да разгледаме интеграла
След полагане t = cos x, dt = -sin x dx получаваме
F(x) = - ∫ dt⁄t3= 1⁄2t2= 1⁄2cos2x
3. R(-u, -v) = R(u, v)
to икономичната субституция е
tan x = tДействително, тук от равенствата
R(- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x) = R(t cos x, cos x
следва, че cos x участва в подинтегралния израз в четни степени и поради това се изразява рационално чрез t предвид на зависимостта
cos2= 1⁄1 + t2
Следователно
R(sin x,cosa x) = R1(t)
и тъи като
dx = dt⁄1+t2
то интегралът се рационализира:
Пример 40 В интеграла
F(x) = ∫ dx⁄cos4x
полагаме t = tan x. Оттук х = arctant и
cos2x = 1⁄1+t2, dx = dt⁄1+t2
Следователно
F(x) = ∫ (1 + t2)dt = t + t3⁄3 = tan x + tan3x⁄3
Наред c полагането t = tan x ce използва и полагането
t = cos 2x.
4. Възможно е след рационализирането на даден интеграл (с непрекъсната и ограничена в някакъв интервал подинтегрална функция) и решаването му чрез изложената по-горе техника да получим първоначално функция, която не е определена в някои точки. Тук е необходимо да да определим функцията като непрекъсната предвид известното свойство на примитивната (за повече подробности вж. [8]).
Така например след прилагане на универсалната субституция първоначално се получава примитивна F* не на самата подинтегрална функция, а на нейните свивания в интервалите ((2n - 1)π, (2n + 1)π), където n е цяло, тъй като функцията х -> tan(x⁄2) има точки на прекъсване х = (2k + 1)π, k = 0,±1,±2,.... В този случай за примитивната F можем да напишем
F(x) = F*(x) + Cn, х 
((2n - 1)π, (2n + 1)π)
където константите Сn се определят от условието за непрекъснатост на F в точките х = (2k+ 1)π
F((2k + 1)π - 0) = F((2k + 1) + 0)
т.е.
Ck+1 = Ck + ΔF*
ΔF* = F*((2k + 1)π + 0) - F*((2k + l)π-0).
7.1.3 Някои полезни преобразувания
1. Ако подинтегралната функция е рационална относно
sin mx, соs nx, tan px, cot qx
където m, n, р, q ca цели числа, то преминаваме към рационална функция относно sin x, cos х посредством известните формули
sin mx = 
cosm_1a:sina; -cosm_
a;sin x
+ 
cosm~5 x sin5 x------
cos mx = cos x -
cos sin x +
cos sin - • • •
Ако числата m, n,p, q ca дробни, първо ги привеждаме към общ знаменател:
m = m1⁄s, n = n1⁄s, p = p1⁄s, q = q1⁄s
и после полагаме
y = x⁄s
Пример 41 В интеграла
полагаме у = х/6, dx = 6dy. Оттук
= 3 ∫ cos2y⁄sin y dy - 9 ∫ sin y dy = 3 ∫ 1 - sin2y⁄sin y dy - 9 ∫ sin y dy = 3 ∫ dy⁄sin y - 12 ∫ sin y dy = 3 ln|tan y⁄2| + 12cos y = 3 ln|tan x⁄12| + 12cos x⁄6.
2. Ако в подинтегралната функция се срещат произведения от типа sin cos, cos cos или sin sin, to те се преобразуват no формулите
sin mx cos rx = 1⁄2 (sin(m - n)x + sin(m + n)x)
cos mx cos nx = 1⁄2 (cos(m - n)x + cos(m + n)x) sin mx sin nx = 1⁄2 (cos(m - n)x - cos(m + n)x). По-общо, всеки израз
cos(a1x + b1) cos(a2x + b2) .... cos(akx + bk) c помощта на последователно прилагане на формулата
cos α cos β = 1⁄2 (cos(α - β) + cos(α + β)) ce свежда до сума от членове от вида
Aicos(Bix + Ci). 3. Интегралите от вида
където m и n са цели, се рационализират чрез полагането t = sin x, ако n е нечетно и t = соs x, ако m е нечетно (вж. т. 1 и 2 от раздел 8.1.2). Ако числата m и n са положителни и четни, може да се окаже полезно подинтегралната функция да се изрази чрез функции на кратни ъгли.
Използват се и полаганията t = sin x или t = cos x m + n е нечетно число, и t = tan x или t = cos 2x, ако m + n е четно.
Пример 42 В интеграла
F(x) = ∫ sin3x dx = ∫ (1 - cos2x)sin x dx
полагаме
t = cos x, - sin x dx = dt
откъдето
F(x) = - ∫ (1 - t2)dt = -t + t3⁄3 = -cos x + cos3x⁄3
Пример 43
∫ sin2 x cos2 x dx = 1⁄4 ∫ 4sin2 x cos2 x dx = 1⁄4 ∫ sin22x dx = 1⁄4 ∫ 1 - cos 4x⁄2 dx = x⁄8 - sin 2x⁄32
Използват се и следните рекурентни формули, които се проверяват чрез непосредствено диференциране
∫ sinmx cosnx dx = (cosn - 1x sinm + 1x/m+n) + (n - 1/m + n) ∫ sinmx cosn - 2x dx = - (cosn + 1x sinm - 1x/m + n) + (m - 1/m +n) ∫ sinm - 2x cosnx dx
(в последния случай се предполага, че m ≠ n. Случаят m = n е разгледан в пример 16 и упражнение 1 от раздел 5.7)
Последователното прилагане на горните формули води до някой от табличните интеграли.
7.2 Интеграли от показателни функции
Интегралите се решават с полагането
t = ex, dx = dt⁄t. Същото полагане върши работа и при интеграли от вида
F(x) = ∫ R(sinh x, cosh x)dx
Тук, обаче, може да се използва и хиперболичният аналог на универсалната субституция при интегралите от тригонометрични функции:
t = tanh x⁄2
при което
и
Пример 44 В интеграла
полагаме t = ex, dx = dt⁄t и получаваме
F(x) = ∫ 1+t⁄2+t dt = ∫2 + t - 1⁄2+t dt = t - ln(2 + t) = ex- ln(2 + ex)
7.3 Интеграли от тригонометрични и показателни функции
Интегралите
F(x) = ∫ eaxP(sin x,cos x)dx където Р е полином, се свеждат до сума от интеграли от вида
където m и n са натурални числа. Тук първо произведението sinm х cosn x ce представя като сума от синуси и косинуси на кратни ъгли, след което получаваме интеграли от вида
∫ eaxsin bx dx, ∫ eax cos bx dx
които вече разгледахме в пример 12.
7.4 Интеграли от тригонометрични и степенни функции
1. Интегралите
∫ P(x, sin bx,cos bx)dx
където Р е полином, се свеждат до интеграли от вида
Те на свой ред могат да се решат рекурентно чрез последователно интегриране по части, като тригонометричните функции се вкарват под знака на диференциала. Използуват се и формулите
където
2. Ako R e рационална функция, различна от полином, интегралите
∫ R(x)sin x dx, ∫ R(x)cos x dx
не се изразяват чрез елементарни функции. Така например, ако алгебричната дроб R(x) ce разлага в сума от елементарни дроби от първи тип, то след няколкократно интегриране по части интегралът се представя чрез елементарни функции и чрез някои от следните интеграли,
∫ sin x⁄x dx, ∫ cos x⁄x dx
които не се изразяват в елементарни функции (вж. пример 4).
7.5 Интеграли от тригонометрични, показателни и степенни функции
1. Интегралите
∫ P(x, eax, sin bx, cos bx)dx
където Р е полином, се свеждат до интеграли от вида Сm(х) = ∫ xmeaxcos bx dx , Sm(x) = ∫ xmeaxsin bx dx
След интегриране по части с вкарване на експонентата под знака на диференциала, получаваме
От тази система определяме Сm и Sm:
като отчитаме факта, че C0(x) и S0(x) ca всъщност изразите С(х) и S(x) от пример 12.
2. Ако Q е полином, то се използва формулата
∫ Q(x)eaxdx = eax/a (Q(x) - Q′(x)/a + Q′′/a2 - Q′′′(x)/a3 + ...)
3. Ако R e рационална функция, различна от полином, то интегралът
не се изразява в елементарни функции. Ако R(x) ce разлага в сума от елементарни дроби от първи тип, то след последователно интегриране по части интегралът се представя като сума от елементарни функции и интеграл от типа
∫ ex⁄x dx
(вж. пример 4). При интеграли от този тип се използва и рекурентната формула
7.6 Други интеграли
1. Интегралите
∫ P(x, arcsinx)dx
където Р е полином, се рационализират чрез полагането
t = arcsin x. Аналогично, интегралите
∫ P(x, lnx)dx се рационализират като се положи
t = lnx.
2. Интегралите
могат да се рационализират чрез интегриране по части, ако примитивната на R и производната на g се окажат рационални функции на аргументите х и у = 
Такива са
например интегралите
3. Интегралите
и
∫ R(arcsinx)xm dx
чрез полаганията
t = lnx
и
t = arcsin x
ce свеждат до вече разгледаните в раздели 8.1-8.5.
7.7 Упражнения
1. Пресметнете интегралите
∫ dx⁄sinnx + cosnx
за n = 3,4,5,6 чрез стандартните субституции. Опитайте да решите интегралите и с хитрост, например като използвате тъждеството sin 2x + cos2 x = 1.
2. Докажете зависимостите от т. 1 на раздел 8.4.
3. Докажете зависимостта от т. 2 на раздел 8.5.
4. Развийте рекурентната формула от т. 3 на раздел 8.5 така, че в дясната страна да остане единствено интеграла
∫ eax⁄ dx
5. Решете интеграла
∫ dx⁄1+0.1cos x
с помощта на универсалната субституция t = tan(x⁄2). Първоначално ще получите примитивна само за интервалите ((2n - 1)π, (2n + 1)π). Намерете примитивната върху цялата числова ос като използвате техниката, скицирана в т. 4 на раздел 8.1.2.
Авторът на math10.com благодари на проф. Константинов за разрешението да публикува учебника: "Интеграли" на страниците на сайта
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на:
