Интегриране на рационални функции

Вие четете за интеграли благодарение на проф. Михаил Константинов -
зам. декан на УАСГ, виден математик и общественик

5.1 Разлагане в елементарни дроби

В тази глава ще разгледаме интеграли от рационални функции, т.е.

∫ R(x)dx където

Основният метод за решаване интеграли от този тип е разлагането в елементарни дроби.

Ще предполагаме, че полиномите Р и Q са от степен deg Р = m и degQ = n съответно, т.е., че р_m ≠ 0 и q_n ≠ 0. Ще предполагаме също, че n > 1, тъй като при п = 0 (т.е. при Q(x) = q₀ ≠ 0) подинтегралната функция се свежда до полином. И накрая ще приемем, че

1) m < n, т.е. че степента на числителя е по-малка от тази на знаменателя, както и че

2) полиномите Р и Q са взаимно прости (в този случай изразът R(x) ce нарича правилна алгебрична дроб).

Действително, ако условията 1) и 2) не са първоначално изпълнени, то след съкращаване на общите множители на Р и Q (ако има такива) стигаме до израза R₁(x) = P₁(x)⁄Q₁(x), където P₁ и Q₁ нямат общи множители от степен > 1. Накрая, ако deg P₁ > degQ₁, то R₁(x) може да се представи във вида

R₁(x) = P₂(х) + P₃(x)⁄Q₁x

където Р₂, Р₃ са полиноми и Р₃(х)⁄Q₁(x) e правилна алгебрична дроб.

Пример 18

И така, нека е дадена правилната алгебрична дроб R(x). Според една основна теорема в алгебрата, полиномът Q има n нули x₁,..., х_n (т.е. Q(x_j) = 0), които могат да бъдат реални

или комплексни, прости или кратни. Нека

са реалните нули с кратности k₁,..., k_r съответно, a

х_r+1 = а₁₊ + b_1i, x_r+2 = а₁ - b_1i..., х_n-1 = a_s + b_si, x_n = a_s - b_si

ca комплексните нули (последните се срещат само в комплексно-спрегнати двойки а_k+- b_ki = √-1, г с кратности l₁,....l_s, където

k₁... + k_r + 2(l₁+...+l_s) = n.

Тъй като

Q(x) = q_n(x - x₁) .... (x - x_n)

= q_n(x-c₁)^k₁ .... (x - c_r)^k_r(x² + μ₁x + v_x)^l₁ ....(x² + μ_sx + v_s)

където

μ_j = -2a_j, v_j = a² + b²

то Q(x) ce състои от множители от вида

(х - с)^к

(x² + μх + v)^l = ((х - а)² + b²)^l.

Може да се докаже, че R(x) ce представя като сума от т.н. елементарни дроби от първи

и от втори тип

където A_i и B_j, C_j са константи, числото с е реална нула на Q с кратност к и a ± bi e двойка комплексно-спрегнати нули на Q с кратност l.

За да демонстрираме възможността за разлагане на правилна алгебрична дроб в сума от елементарни дроби, ще разгледаме първо случая, когато с е реална нула на Q с кратност k, т.е. когато

Q(x) = (x- с)^kТ(х)

където Т е полином от степен n - k и Т(с) ± 0. Тогава R(x) може да се представи като сума от две правилни алгебрични дроби

където deg S<n - 2 и A ≠ 0.

Действително, за да бъде в сила последното представяне е необходимо и достатъчно да бъде изпълнено

Р(х) = АТ(х) + (х- c)S(x).

Като положим х = с за А получаваме

A = P(c)⁄T(c) Така за определяне на полинома S имаме зависимостта

Степента на така дефинирания полином Е очевидно не е по-голяма от n - 1, тъй като deg Р < deg Q = п и degT = п - к <п - 1. От друга страна имаме Е(с) = 0, т.е. числото с е нула на Е и следователно E(x) се дели на х - с. Така полиномът S определен от

x - с

е от степен, ненадвишаваща n - 2.

Аналогично се доказва, че ако a±bi е комплексно-спрегната двойка нули на Q с кратност l, то

където константите В, С не са едновременно нули и S е полином от степен, ненадвишаваща n - 3.

Сега общият резултат за разлагане на R(x) в сума от елементарни дроби от първи и втори тип следва непосредствено чрез последователно прилагане на доказаните формули за разлагане върху изразите

и/или

И така, правилната алгебрична дроб R(x) ce разлага в елементарни дроби както следва

(*)

За определяне на неизвестните n числа A_ia,B_jp, C_jp най-често се използува методът на неопределените коефициенти. Той включва освобождаване от знаменателите в (*) чрез умножаване на двете страни на равенството с Q(x), разкриване на скобите и привеждане на подобните членове, и приравняване на коефициентите пред еднаквите степени на x. В резултат се получава линейна алгебрична от n-ти ред за неизвестните коефициенти в разложението, която има единствено решение.

Пример 19 Да разгледаме правилната алгебрична дроб

Числителят Q има реални нули с₁ = 0, с₂ = 1, както и двойка комплексно-спрегнати нули a ±bi = - 1 ± i с кратност l = 2. Така

Q(x) = х(х - 1)((x - 1)² + 1)² = х(х - 1)(x² + 2x + 2)²

и разложението в елементарни дроби има вида

След освобождаване от знаменателите получаваме

х² = A₁(x-1)(x² + 2x + 2)² + A₂x(x² + 2x + 2)²

+ (B₁x + C₁)x(x - 1)(x² + 2x + 2) + (В₂х + С₂)х(х - 1) откъдето x² = (A₁ + A₂ + B₁)x⁵ + (3A₁+4A₂ + B₁ + C₁)x⁴

+ (4A₁ + 8А₂ + С₁ + В₂)х³ + (8A₂ - 2В₁ -В₂ + С₂)х²+ (-4А₁ + 4А₂ - 2C₁ - С₂)x - 4А₁

0 = A₁ + A₂ + B₁

0 = 3A₁ + 4A₂ + B₁ + C₁

0 = 4A₁ + 8A₂ + C₁ + B₂

1 = 8A₂ - 2B₁ - B₂ + C₂

0 = -4A₁ + 4A₂ - 2C₁ - C₂

0 = -4A₁ .

Решението на тази линейна система е

А₁ = 0, А₂ = 0.04, В₁ = -0.04, C₁ = -0.12, B₂ = -0.2, С₂ = 0.4

и следователно

Методът на неопределените коефициенти има и един друг вариант, който може да се окаже по-ефективен в сравнение с подхода, при който се приравняват коефициентите пред еднаквите степени на х. При този вариант, след освобождаване от знаменателя в представянето (*), променливата х се полага равна последователно на нулите на знаменателя Q. При това някои от коефициентите A_ia, B_jp, C_jp ce определят непосредствено, а за други се получават линейни алгебрични системи от по-нисък ред.

Да разгледаме например правилната алгебрична дроб

където Р(х) = р₂x²+р₁х+р₀ е полином от степен, не по-висока от 2, а знаменателят Q има една реална нула х₁ = с и две комплексно-спрегнати нули x_2,3 = a±bi. Тогава

Q(x) = (x-c)((x-a)² + b²)

и разлагането на R(x) в елементарни дроби има вида

Оттук

Р(х) = А((х - а)² + b²) + (Вх + С)(х- с). В последното равенство полагаме х = с и определяме А:

За определяне на В и С полагаме х = a + bi. След приравняване на реалните и имагинерните части в двете страни на равенството получаваме линейна система от две уравнения за В и С.

Този вариант на метода на неопределените коефициенти е особено ефективен когато знаменателят Q има само прости реални нули c₁,...,c_n, тъй като тогава всички коефициенти А_k в разложението

се намират непосредствено:

където с Q_k сме означили полиномите, определени от

Ще отбележим накрая, че не е необходимо х непременно да се полага равно на нулите на Q, а може да се изберат които и да са n стойности на х, стига само получената система за коефициентите A_ia,B_jp,C_jp да е разрешима.

5.2 Интегриране на елементарни дроби

1. Интегрирането на елементарните дроби от първи тип наистина е елементарно:

. При интегриране на елементарните дроби от втори тип

ще използваме рекурентния метод. Полагаме

откъдето

F_l(x) = CG_l(x)+BH_t(x).

Остава да определим рекурентно G_l(x) и Н_l(х). За l > 1 преработваме израза за Н_l(х) както следва.

По-сложно е преработването на израза за G_l(x), l > 1 (на този интеграл му се носи лошата слава, че е помогнал за скъсването на десет хиляди студенти само у нас¹)

Полученото рекурентно уравнение за G_l(x) заедно с израза за

G₁(x) == 1⁄barctan(x-a⁄b)

позволява последователното интегриране на елементарни дроби от втори тип.

5.3 Метод на Остроградски-Ермит

При решаване на интеграла

∫ P(x)⁄Q(x) dx

където P(x)⁄Q(x) е правилна алгебрична дроб (deg Р < deg Q) чрез разлагане в елементарни дроби, една от основните трудности е намирането на нулите х₁,..., х_n на знаменателя Q. За избягване на този проблем се прилага методът, предложен от Остроградски (руски математик, 1801-1862) и Ермит (френски математик, 1822-1901), който се състои в следното.

Нека D е най-големият общ делител на знаменателя Q и производната му Q', който може да се намери така. Полагаме Q = Q₀ и Q' = Q₁. Делим Q₀ на Q₁ като получаваме остатък Q₂:

(Q₀x)/Q₁(x) = A₁x + B₁ + (Q₂(x))/(Q₁(x))

където A₁,B₁ са константи и degQ₂ < degQ₁ = n - 1. След това делим Q₁ на Q₂, означаваме остатъка с Q₃ и т.н. Продължаваме този процес докато не получим нулев остатък, да

кажем при деленето на Q_p-1 на Q_p:

Q_p-1(x)⁄ Q_p(x) = A_p(x) + В_p

Делителят в това последно частно е търсеният най-голям общ делител: D = Q_p.

Пример 20 Най-големият общ делител на полиномите

Q(x) = -x⁵ + x⁴ - 2x³ + 2x² - х + 1 Q'(x) = -5x⁴ + 4x³ - 6x² + 4x - 1

е полиномът x² + 1.

Да означим с d = deg D степента на полинома D и нека

S(x) = Q(x)⁄D(x)

(ще отбележим, че полиномът S от степен deg S = n - d има само прости нули). След определяне на D и S първоначалният интеграл се представя във вида

(**)

където P₁ и Р₂ са неизвестни полиноми от степен d₁ = deg P₁ < deg D и d₂ = deg P₁ < deg S. За намиране на неизвестните полиноми диференцираме последното равенство:

откъдето

P(x)D(x) = (P₁(x)D(x) -P₁(x)D'(x))S(x) +P₂(x)D²(x).

Заедно с (**), това е основната формула на метода на Остроградски-Ермит. Тук полиномите P₁ и Р₂ търсим от степени d₁ = d - 1 и d₂= n - d - 1 съответно, т.е. неизвестните коефициенти в P₁ и P₂ са общо d₁ + d₂ + 2 = n на брой.

Пример 21 Да пресметнем интеграла

по метода на Остроградски-Ермит. Имаме

Q(x) = (x³+x + 1)²

Q'(x) = 2(x³ + x + 1)(Зx² + 1)

откъдето

D(x) = x³ + x + 1 S(x) = x³ + x + 1.

Търсим полиномите P₁ и Р₂ във вида

Р_j(x) = A_jx² + B_jx + C_j.

След диференциране, освобождаване от знаменателите, разкриване на скобите и привеждане на подобните членове, основната формула добива вида

Зx⁵-Зx² + x + 1 = А₂х⁵ + (В₂ - А₁)х⁴ + (А₂ + С₂ - 2В₁)х³

+ (А₁ +А₂ + В₂- 3C₁)x² + (2А₁ + С₂ + В₂)х + Bi-Ci + C₂.

След приравняване на коефициентите пред еднаквите степени на x получаваме система от шест уравнения за шестте неизвестни коефициенти, която има решение

Така

А₁=0,В₁ = 2,С₁=2; А₂ = 3,В₂ = 0,С₂ = 1.

Необходимо е да се отбележи, че методът на Остроградски-Ермит се прилага и когато нулите на Q са известни, тъй като в редица случаи той е по-ефективен в сравнение с разлагането в елементарни дроби.

По принцип методът на Остроградски-Ермит е по-ефективен в случаите, когато полиномът Q има кратни нули, т.е. когато най-големият общ делител D на Q и Q' е нетривиален (разли ен от константа).

И накрая ще напомним, че в някои случаи най-ефикасно се оказва прилагането на някакво специално преобразувание, например като се използуват формулите от т. 6 на раздел 4.1, като се разложи числителя по специален начин, и т.н.

Пример 22

Пример 23

= ∫ (x - 1)^-8dx + 2 ∫ (x - 1)^-9dx + ∫ (x - 1)^-10dx

Пример 24

5.4 Упражнения

1. Покажете, че ако

Q(x) = q_nxⁿ+ q^n-1x^n-1+....+ q₁x + q₀

е полином от степен n> 2, то

Q(x)/Q′(x) = x/n + (q_{n - 1})/n + Q₂(x)/Q′(x)

където

Q₂(x) = c_{n - 2^{x^{n - 2}}} + ....

е полином от степен deg Q₂ < n - 2, като

2. Пресметнете интегралите

3. Пресметнете интеграла

чрез разлагане в елементарни дроби и по метода на Остроградски-Ермит. Сравнете ефективността на двата подхода за този пример.

4. Приложете метода на Остроградски-Ермит към интегралите

Сравнете резултата с този от т. 2 на раздел 5.2. 5. Решете интеграла

с "хитрост", т.е. без разлагане в елементарни дроби и без да използвате метода на Остроградски-Ермит (например, представете числителя като 1 - x + х ; има и други хитри начини).

Авторът на math10.com благодари на проф. Константинов за разрешението да публикува учебника: "Интеграли" на страниците на сайта

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: