Math10.com

Целогодишни курсове 2008/2009 година - 7 и 12 клас

English

Неравенства в триъгълника

Задачи по геометрия с повишена трудност за 9 клас.

Задачите са от сип по математика в ПМГ Стара Загора.

До края в изложението ще приемем, че триъгълникът АВС има лице S , периметър P и полупериметър p , дължините на страните са BC = a; CA = b; AB = c , а големините на ъглите са BAC = α; ABC = β; ACB = γ. Радиусите на вписаната и описаната окръжности са с дължини съответно r и R , височините към съответните страни имат дължини h_a; h_b; h_c, медианите към съответните страни са с дължини m_a; m_b; m_c, а ъглополовящите, прекарани към съответните страни, имат дължини l_a; l_b; l_c.

1. Установете, че за всеки триъгълник са в сила неравенствата
а) sinα/2 ≤ a/2√bc; sinβ/2 ≤ b/2√ca; sinγ/2 ≤ c/2√ab;
б) tgα/2 ≤ a/2h_a; tgβ/2 ≤ b/2h_b; tgγ/2 ≤ c/2h_c.

2. Докажете, че за всеки триъгълник е в сила r/R ≤ 2(1 - sinα/2)sinα/2.

3. Докажете, че за всеки триъгълник е в сила неравенството R ≥ 2r.

4. Установете, че ако α; β; γ са ъгли в триъгълник, то са изпълнени неравенствата
а) cosα + cosβ + cosγ ≤ 3/2;            б) sinα/2 + sinβ/2 + sinγ/2 ≤ 3/2.

5. Докажете, че за всеки триъгълник е в сила равенството r = 4Rsinα/2sinβ/2sinγ/2.

б. Установете, че за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата
а) sinα/2sinβ/2sinγ/2 ≤ 1/8
б) cosαcosβcosγ ≤ 1/8.

7. Докажете, че за всеки триъгълник са в сила зависимостите
а) 1/2r < 1/h_a + 1/h_b < 1/r;
б) 3/4r < 1/h_a + 1/h_b +1/h_c < 3/2r;
в) 1/h_a + 1/h_b +1/h_c = 1/r.

8. Докажете, че за всеки триъгълник са изпълнени зависимостите:
а) S ≤ (a + b + c)²/12√3;
б) S ≤ (a² + b² + c²)/4√3.

9. Ако α; β; γ са ъгли в триъгълник, установете, че са в сила зависимостите
a) cotgα + cotgβ + cotgγ ≥ √3;
б) tgα/2 + tgβ/2 + tgγ/2 ≥ 3.

10. Докажете, че за всеки триъгълник е изпълнено неравенството 9r ≤ h_a + h_b + h_c.

11. Установете, че за всеки триъгълник са изпълнени зависимостите
а) m_a² + m_b² + m_c² ≤ 27R²/4;
б) m_a + m_b + m_c ≤ 9R/2.

12. Докажете, че за всеки нетъпоъгълен триъгълник е в сила неравенството 4R ≤ m_a + m_b + m_c.

13. Точката N е вътрешна за ABC, а разстоянията от N до страните ВС, СА и АВ са съответно x; y; z. Ако n = a/x + b/y + c/z, да се намери най-малката стойност на n. При кое положение на точката N се получава тази най-малка стойност?

14. Ако за страните на ABC е изпълнено a ≤ b ≤ c, обосновете, че l_c ≤ h_a. Кога е в сила равенството?

15. Ако в един триъгълник е в сила зависимостта c + h_c = a + b, докажете, че:
а) tgα/2 + tgβ/2 = 1;
б) tgα/2tgβ/2 ≤ 1/4
в) tgγ/2 ≥ 3/4

За реклама   Дарения    Детска енциклопедия   Реферати