Формули по аналитична геометрия в пространството

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Насочени вектори върху права, свързвща точки P₁(x₁,y₁,z₁) и P₂(x₂,y₂,z₂)

$l=cos\alpha=\frac{(x_2-x_1)}{d},m=cos\beta=\frac{y_2-y_1}{d},n=cos\gamma=\frac{z_2-z_1}{d}$
където α,β,γ са ъглите, които правата P₁P₂ сключва съответно с положителните оси x, y, z и d е дадено на горната фигура.

Връзка между насочените вектори

cos²α + cos²β + cos²γ = 1 или l² + m² + n² = 1

Насочени числа

Числата L, M, N, които са пропорционални на насочените вектори l, m, n се наричат насочени числа. Връзката между тях е зададена чрез
$l=\frac{L}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}},m=\frac{M}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}},n=\frac{N}{\sqrt{L^2+M^2+N^2}}$

Уравнения на права, свързваща точките P₁(x₁,y₁,z₁) и P₂(x₂,y₂,z₂) в стандартна форма

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ или $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$
Тези са вярни също ако l, m, n се заместят съответно с by L, M, N.

Уравнения на права, свързваща точките P₁(x₁,y₁,z₁) и P₂(x₂,y₂,z₂) в параметрична форма

x = x₁ + lt, y = y₁ + mt, z = z₁ + nt
Тези са вярни също и ако l, m, n се заместят съответно с L, M, N.

Ъгъл φ между две прави с насочени вектори l₁, m₁, n₁ И l₂, m₂, n₂

cosφ = l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂

Главно уравнение на равнина

Ax + By + Cz + D = 0 [A, B, C, D СА са константи]

Уравнение на равнина, минаваща през точки (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃)

или

Уравнение на равнина в пресечна форма

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
където a, b, c са пресечните точки съответно с осите х, y, z.

Уравнение направа през (x₀,y₀,z₀) и перпендикулярна на равнина Ax + By + Cz + D = 0

$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$ или x = x₀ + At, y = y₀ + Bt, z = z₀ + Ct
Забележете, че насочените числа за права перпендикулярна на равнина Ax + By + Cz + D = 0 са A, B, C.

Разстояние от точка (x₀,y₀,z₀) до равнина Ax + By + Cz + D = 0.

$\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\pm\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
където знакът се определя така че разстоянието е неотрицателно.

Нормална форма на уравнение на равнина

xcosα + ycosβ + zcosγ = p
където p = перпендикулярното разстояние от O до равнината в точка P и α, β, γ са ъглите между OP и съответно положителните оси x, y, z.

Смяна на координати, включваща проста транслация

където (x, y, z) са старите координати [т.e. координатите съответствуващи на системата xyz],(x', y', z') са новите координати [съответствуващи на системата x'y'z'] и (x₀,y₀,z₀) са координатите на новия център O' съответствуващи на старата координатна система xyz.

Смяна на координати, включваща проста ротация

където началата на системите xyz и x'y'z' са същите и l₁,m₁,n₁; l₂,m₂,n₂; l₃,m₃,n₂ са насочените вектори съответно на осите x', y', z' към осите x, y, z съответно.

Смяна на координати, включваща транслация и ротация

където началото O' на системата x'y'z' има координати (x₀,y₀,z₀) спрямо системата xyz и l₁,m₁,n₁; l₂,m₂,n₂; l₃,m₃,n₂ са насочените вектори на правите x' , y', z' съответно към правите x, y, z.

Цилиндрични координати (r, θ, z)

Точка P може да бъде разположена с цилиндрични координати (r, θ, z) както и с правоъгълни координати (x, y, z).
Смяната мержду тези координати е

Сферични координати (r, θ, φ)

Точка P може да бъде разположена с сферични координати (r, θ, φ) както и с правоъгълни (x, y, z).
Смяната е

Уравнение на сфера в правоъгълни координати

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²
където сферата има център (x₀,y₀,z₀) и радиус R.

Уравнение на сфера в цилиндрични координати

r² - 2r₀r(θ - θ₀) + r₀² + (z - z₀)² = R²
където сферата има център (r₀,θ₀,z₀) в цилиндрични координати и радиус R.
Ако центърът на сферата е в началото уравнението е:
r² + z² = R²

Уравнение на сфера в сферични координати

r² + r₀² - 2r₀rsinθsinθ₀cos(φ - φ₀) = R²
където сферата има център (r₀,θ₀,φ₀) в сферични координати и радиус R.
Ако центърът е в началото уравнението е:
r = R.