Втори и трети признак за еднаквост на триъгълници

Втори признак за еднаквост на два триъгълника:

Ако страна и два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на страна и два ъгъла от друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Установено е и следното свойство:

Aко в един триъгълник две от страните са равни, то и срещулежащите им ъгли също са равни

Трети признак за еднаквост на два триъгълника:

Ако страните на един триъгълник са съответно равни на страните на друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.

Задача 1
Докажете, че ъглополовящите към бедрата на равнобедрения триъгълник са равни

Решение:
Нека триъгълник АВС е равнобедрен с основа АВ и АМ и ВN са ъглополовящите на САВ и СВА ъответно (фиг.38) Триъгълниците АМВ и ВNА са еднакви (ІІ признак), защото:
1. САВ = СВА (ъгли при основата на равнобедрен триъгълник)
2. АВ – обща.
3. МАВ = NВА = ¹/₂ САВ Отсечките АМ и ВN са съответни в тези еднакви триъгълници и следователно АМ = ВN

Задача 2
Докажете, че перпендикулярите, спуснати от краищата на една страна в триъгълника към медианата, прекарана към нея, са равни.

Решение:
Нека разглеждания триъгълник означим с АВС, а СМ е медиана към страната АВ (фиг.39)
През А и В спускаме перпендикулярите АА₁ и ВВ₁ към правата СМ .Триъгълниците АА₁М и ВВ₁М са еднакви (ІІ признак), защото ВВ₁М = АА₁М = 90°, АМА₁ = ВМА₁ противоположни, АМ = ВМ. Тогава АА₁ = ВВ₁ като съответни страни в тези два еднакви триъгълника.

Задача 3
Докажете, че перпендикулярите спуснати от произволна точка на ъглополовящата на даден ъгъл към раменете му, отсичат от тях отсечки с равни дължини.

Решение:
Нека за ъгъл АОВ точка М е произволна точка от ъглополовящата му ОL(фиг.40)
Нека МР перпендикуляр ОА , а МQ ОВ За да докажем, че ОР = ОQ, достатъчно е да докажем, че триъгълник ОРМ еднакви триъгълници ОQМ . Но ОРМ ОQМ(ІІпризнак), защото ОМ = ОМ, QОМ = РОМ (ОL е ъглополовяща), ОQМ = ОРМ = 90°, откъдето следва, че ОР = О

Задача 4
Докажете, че ако в един триъгълник височината и ъглополовящата му, прекарани през един и същи връх съвпадат, то триъгълникът е равнобедрен.

Решение:
Нека за триъгълник АВС височината и ъглополовящата примерно през върха С съвпадат (фиг.41) За да докажем, че АС = ВС, т.е. АВС е равнобедрен, достатъчно е да докажем, че АDС и триъгълник ВDС са еднакви . Но АDС еднакви триъгълници ВDС (ІІ признак), защото АСD ≤ ВСD (СD е ъглополовяща) АСD ≤ СDВ = 90° ( СD е височина), СD = СD, откъдето следва, че
АС = ВС

Задача 5
Докажете, че два триъгълника са еднакви ,ако имат съответно равни:
а) страна, прилежащ ъгъл и ъглополовяща на същия ъгъл
б) два ъгъла и височина
в) два ъгъла и ъглополовяща
г) две страни и медиана към третата страна.

Решение:
а) Нека за триъгълниците АВС и А₁В₁С₁ са равни следните елементи: АС = А₁С₁, А = А₁, АL = А₁L₁ са ъглополовящи съответно на ъглите А и А₁(фиг.42) Разглеждаме триъгълниците АLС и А₁L₁С₁. Те са еднакви(І признак), защото АС = А₁С₁(по условие), АL = А₁L₁(по условие), САL = С₁А₁L₁ (половинки от равни ъгли), оттук следва, че С = С₁ Тогава триъгълник АВС еднакви триъгълници А₁В₁С₁(ІІ признак)

б) Щом двата триъгълника имат по два равни ъгъла, то и третите им ъгли са също равни (сборът от трите ъгъла на всеки триъгълник е 180°) Тогава няма значение височините, които са равни дали са през връх на дадените ъгли или през връх на третия ъгъл. Нека за триъгълниците АВС и А₁В₁С₁ (фиг.43) са дадени А ≤ А₁ С ≤ С₁ и височините ВН и В₁Н₁ също равни. Тогава триъгълник АВН еднакви триъгълници А₁В₁Н₁(ІІ признак), защото ВН = В₁Н₁
Н ≤ Н₁ = 90° АВС и А₁В₁С₁ (фиг.43) са дадени А ≤ А₁ С ≤ С₁ и височините ВН и В₁Н₁ също равни. Тогава АВН еднакви триъгълници А₁В₁Н₁(ІІ признак), защото ВН = В₁Н₁ Н ≤ Н₁ = 90° А = А₁ От еднаквостта на тези два триъгълника следва, че АВ = А₁В₁. Следователно АВС А₁В₁С₁(ІІпризнак), защото АВ = А₁В₁, А ≤ А₁ и С ≤ С₁

в) Както в условие б), и тук няма значение дали равните ъглополовящи са на дадените равни ъгли или на третите ъгли .Нека за триъгълниците АВС и А₁В₁С₁ е известно, че А = А₁ АСL = А₁С₁L₁(половинки от равни ъгли), СL = С₁L₁. От еднаквостта на тези два триъгълника следва, че АС = А₁С₁ и поради А = А₁, С = С₁ получаваме АВС еднакви триъгълници А₁В₁С₁(ІІ признак)

г) Нека за триъгълниците АВС и А₁В₁С₁ е известно, че АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁; АМ = А₁М₁, където АМ и А₁М₁ са медиани съответно към страната ВС и В₁С₁(фиг.45) Върху лъчите АМ и А₁М₁ вземаме съответно точките D и D₁ такива, че АМ = МD = А₁М₁ = М₁D₁
Тогава триъгълник АМС еднакви триъгълници ВМ D (Іпризнак) защото АМ = МD, ВМ = СМ(АМ е медиана), АМС= ВМD (връхни ъгли).
Аналогично и А₁М₁С₁ В₁М₁D₁. От еднаквостта на триъгълниците следва, че АС = ВD и А₁С₁ = В₁D₁, следователно АС = ВD = А₁С₁ = В₁D₁
Разглеждаме триъгълник АВD и А₁В₁D₁ По условие АВ = А₁В₁, ВD = В₁D₁ (от горните разглеждания и от АD = 2АМ, А₁D₁ = 2 А₁М₁ следва че АD = А₁D₁ Тогава АВD еднакви триъгълници А₁В₁D₁ (по ІІІ признак)
По аналогичен начин се доказва, че триъгълник АDС А₁D₁С₁ От последните две еднаквости на триъгълници следва, че DАВ = D₁А₁В₁ и DАС = D₁А₁С₁ Тогава САВ = С₁А₁В₁ (сбор от равни ъгли). По първи признак триъгълник АВС еднакви триъгълници А₁В₁С₁ защото АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁ и САВ = С₁А₁В₁

Още за еднакви триъгълници във форума

Форум за триъгълници

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: