Math10.com

English

Задачи за рационални изрази и формули за съкратено умножение

17 задача Представете тричлена, като сбор от два члена, единият от които е квадрат на двучлен:
А) x² + 8x + 25 Б) 4x² – 4x + 10
В) 16x² – 24x + 30 Г) 81x² + 6x + 32
Решение:
А) x² + 8x + 25 = x² + 2.x.4 + 4² + 9 = (x + 4)² + 9
Б) 4x² – 4x + 10 = (2x)² – 2.2x.1 + 1 + 9 = (2x – 1)² + 9
В) 16x² – 24x + 30 = (4x)² – 2.4x.3 + 9 + 21 = (4x – 3)² + 21
Г) 81x² + 6x + 32 = (9x)² + 2.9.1/3x + 1/9 + 31.8/9 = (9x + 1/3)² + 287/3

18 задача Разложете на множители:
А) 4ax – 2ay
Б) a² + ab – a - b
В) 9x + 9y + ax + ay
Г) 28a²b³ – 4ab⁴
Д) a⁴ + 2a² + 1
Е) (a + b)⁴ – (a - b)⁴
Решение:
А) 4ax – 2ay = 2a(2x – y)
Б) a² + ab – a – b = a(a + b) – (a + b) = (a + b)(a – 1)
В) 9x + 9y + ax +ay = 9(x + y) + a(x + y) = (x + y)(9 + a)
Г) 28a²b³ – 4ab⁴ = (4ab³)(7a – b)
Д)a⁴ + 2a² + 1 = (a²)² + 2.(a²).1 + 1 = (a² + 1)²
Е) (a + b)⁴ – (a - b)⁴ = [(a + b)²]² – [(a - b)²]² = [(a+b)² + (a - b)²] . [(a + b)² - (a - b)²] = (a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b²).(a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²) = (2a² + 2b²)(4ab) = 2(a² + b²).4ab = 8ab(a² + b²)

19 задача Опростете израза:
А) (x-3)² – x(x + 9)
Б) (2a + 5)² – 5(4a + 5)
В) b² + 49 – (b - 7)²
Г) (y - 10)(y - 6) – (y - 8)²
Решение:
А) (x - 3)² – x(x + 9) = x² – 6x + 9 – x² – 9x = 9 – 15x
Б) (2a + 5)² – 5(4a + 5) = (2a)² + 2.2a.5 + 5² – 5.4a – 5.5 = 4a² + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a²
В) b² + 49 – (b - 7)² = b² + 49 - (b² - 2b.7 + 7²) = b² + 49 - b² + 14b - 49 = 14b
Г) (y - 10)(y - 6) – (y - 8)² = yy - 6y - 10y + 60 - y² + 16y - 64 = -4

20 задача Докажете тъждеството:
А) (-a - b)² = (a + b)²
Б) a³ - 3ab(a - b) - b³ = (a - b)³
В) (x - a)(x - b) = x² - (a + b)x + ab
Г) (a² + b²)(c² + d²) = (ac - bd)² + (bc + ad)²
Решение: За да докажем едно тъждество,трябва да преработим една от неговите страни и да установим ,че тя дава другата страна.
А) (-a - b)² = [-1(a + b)]² = (-1)²(a + b)² = 1.(a + b)² = (a + b)²
Б) (a - b)³ = a³ - 3a².b + 3a.b² - b³ = a³ - 3ab(a - b) - b³ В) (x - a)(x - b) = xx - xb - ax + ab = x² - x(a + b) + ab
Г) (ac - bd)² + (bc + ad)² = a².c² - 2acbd + b².d² + b².c² + 2bcad + a².d² = a²(c² + d²) + b²(d² + c²) = (c² + d²)(a² + b²)

21 задача Намерете многочлена, А за който:
A) (a - b)² + A = (a + b)²
B) x² + x + 1 + A = (x - 1)² + 1
В) 2z² - 5z + 6 + A = (z + 1)² + (z - 1)²
Г) (z - 1)(z + 1) + A = (2z²) + 5
Решение: Понеже търсеният многочлен А е едно от събираемите в дадения сбор, ще го намерим, ако от сбора извадим другото събираемо. Така получаваме:
А) A = (a + b)² – (a - b)² = a² + 2ab + b²- (a² - 2ab + b²) = a² + 2ab + b² – a² +2ab – b² = 4ab
Б) A = (x - 1)² + 1 - (x² + x + 1) = x² - 2x + 1 + 1 – x² – x - 1 = 1 – 3x
В) A = (z + 1)² + (z - 1)² – (2z² -5z + 6) = z² + 2z + 1 + z² - 2z + 1 - 2z² + 5z - 6 = 2 + 5z - 6 = 5z - 4
Г) A = 2z² + 5 – (z - 1).(z + 1) = 2z² + 5 – (z² - 1) = 2z² + 5 – z² + 1 = z² + 6

22 задача Даден е изразът А = k – (x + 1)²
А) Да се намери k, ако най-голямата стойност на А е равна на 4;
Б) Да се замести в А намерената стойност на k от подусловие а) на задачата и да се разложи на множители полученият израз.
Решение:
А) Понеже (x + 1)² е по-голямо или равно на 0 за произволно x, т.е. то е неотрицателно число, то най-голямата стойност на А ще се получи, ако от k не се вади нищо, т.е. ако(x + 1) = 0 Тогава най-голямата стойност на А = 4 по условие е А = k. Така намерихме, че k = 4
Б) A = 4 – (x+1)² = 4 - (x² + 2x + 1) = 4 - x² - 2x - 1 = 3 - x² - 2x = 2 + 1 – x² - 2x = (1 - x²) + 2(1 - x) = (1 - x)(1 + x) + 2(1 - x) = (1 - x)(1 + x + 2) = (1 - x)(x + 3)

23 задача Даден е изразът: x² – 2kx + k +2
А) Да се намери k, ако стойността на израза при х = 1 е 0
Б) Да се замести k с намереното число и да се разложи полученият израз.
Решение:
А) Щом при х = 1 изразът има стойност 0, то е в сила равенството 1² – 2k.1 + k + 2 = 0 следователно 3 – k = 0 следователно k = 3;
Б) Заместваме k с 3 и получаваме x² - 2.3.x + 3 + 2 = x² – 6x + 5 = x² – x - 5x +5 = x(x- 1)-5(x-1) = (x-1)(x-5)

24 задача Даден е изразът A = [(2x – 3)²] + 5
А) Да се намери най-малката стойност на A
Б) Да се представи като многочлен на х изразът A – (x – 3)²
В) Да се разложи на множители 9 – A
Отг.: А) А = 5 Б) 3х² – 6х + 5 В) (2х – 1)(5 – 2х)

25 задача Да се докаже тъждеството:
А) (a² + 2)² – (a - 2)(a + 2)(a² + 4) = 4(a² + 5)
Б) (a + b)³ = a(a - 3b)² + b(b - 3a)²
В) 5(a + b)² – 4a² - 4ab = (a + b)(a + 5b)
Решение: Използуваме формулите за съкратено умножение и получаваме:
А) (a² + 2)² – (a - 2)(a + 2)(a² + 4) = a⁴ + 4a² + 4 – (a² - 4)(a² + 4) = a⁴ + 4a² + 4 – (a⁴ -16) = 4a² + 20 = 4(a² + 5)
Б) a(a - 3b)² + b(b - 3a)² = a(a² - 6ab + 9b²) + b(b² - 6ab + 9a²) = a³ – 6a².b + 9a.b² + b³ - 6ab² + 9a².b = a³ + 3a².b +3ab² + b³ = (a + b)³
В) 5(a + b)² – 4a² - 4ab = 5a² + 10ab + 5b² - 4a² - 4ab = a² + 6ab + 5b² = a² + ab + 5ab + 5b² = a(a + b) + 5b(a + b) = (a + b)(a + 5b)

26 задача Да се опрости изразът:
А) 4(a - 6) – a².(2 + 3a) + a.(5a - 4) + 3a².(a - 1)
Б) (a² - 1)² – (a - 1)(a² + 1)(a + 1)
В) (a + 1)³ + (a - 1)³ – 2a(a + 1)(a - 1)
Г) (a + 5)³ – a(a - 5)² -25(a + 1)²
Решение:
А) 4(a - 6) – a².(2 + 3a) + a.(5a -4) + 3a².(a - 1) = 4a -24 - 2a² - 3a³ + 5a² -4a + 3a³ - 3a² = -24
Б) (a² - 1)² – (a - 1)(a² + 1)(a + 1) = a⁴ - 2a² + 1 – (a - 1)(a + 1)(a² +1) = a⁴ -2a² + 1 – (a² - 1)(a² + 1) = a⁴ - 2a² + 1 - (a⁴ - 1) = a⁴ - 2a² + 1 – a⁴ + 1 = 2 - 2a²
В) (a + 1)³ + (a - 1)³ – 2a(a + 1)(a - 1) = a³ + 3a² + 3a + 1 + a³ - 3a² + 3a - 1 - 2a(a² - 1) = 2a³ + 6a - 2a³ + 2a = 8a
Г) (a + 5)³ – a(a - 5)² - 25(a + 1)² = a³ + 3a².5 + 3a.5² + 5³ – a(a² - 10a + 25) - 25(a² + 2a + 1) = a³ + 15a² + 75a + 125 – a³ + 10a² - 25a - 25a² - 50a - 25 = (15 + 10 - 25)a² + (75 - 25 - 50)a + 125 - 25 = 100

27 задача Да се докаже тъждеството:
А) (a + b + c)(a + b - c) = a² + b² – c² + 2ab
Б) (a² – ab + b²)(a² + ab + b²) = a⁴ + a².b² + b⁴
Решение:
А)(a + b + c)(a + b - c) = [(a + b) + c].[(a + b) – c] = (a + b)² – c² = a² + 2ab + b² – c²
Б)(a² – ab + b²)(a² + ab + b²) = [(a² + b²) – ab].[(a² + b²) + ab] = (a² + b²)² – (ab)² = a⁴ + b⁴ +2a² . b² – a².b² = a⁴ + b⁴ + a².b²

28 задача Да се разложи на множители изразът :
А) x².y – y + x.y² - x
Б) x - 1 + 2ax - 2a – y + xy
В) 4x² - 12xy + 9y² - 4x + 6y
Г) x² + 6x – y² - 4y +5
Решение:
А) x².y – y + x.y² – x = xy(x + y) – (x + y) = (x + y)(xy - 1)
Б) x - 1 + 2ax - 2a – y + xy = (x-1) +2a(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(1 + 2a + y)
В) 4x² - 12xy + 9y² - 4x + 6y = (4x² -6xy) - 6xy + 9y² -4x + 6y = 2x(2x -3y) – 3y(2x - 3y) - 2(2x - 3y) = (2x - 3y)(2x -3y -2)
Г) x² + 6x – y² - 4y + 5 = x² + 5x + x – y² - 5y + y + 5 + xy – xy = x(x + y + 5) – y(x + y + 5) + x + y + 5 = (x + y + 5)(x – y + 1)

За реклама   Дарения    Детска енциклопедия   Реферати