Задачи по тригонометрия за ЗИП - 2 част

Задачите са предоставени от:
г-н Николай Чакъров от Шумен
преподавател в ПГОХХТ "Проф. д-р Асен Златаров"

Математическа гимназия - Варна

Зад.1 Докажете тъждествата:
A) $\frac{1}{2}(cos \alpha + sqrt{3}sin \alpha) = sin (30^\circ + \alpha)$
Решение:
$\frac{1}{2}cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}sin \alpha = sin30^\circ cos \alpha + cos30^\circ sin \alpha = sin(30^\circ + \alpha)$

Б) $cos \alpha - sqrt{3}sin \alpha = 2cos (60^\circ + \alpha)$
Решение:
$cos \alpha - sqrt{3}sin \alpha = 2cos (60^\circ + \alpha) : 2$
$\frac{1}{2}cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}sin \alpha = cos60^\circ cos \alpha - sin60^\circ sin \alpha = cos(60^\circ + \alpha)$

В) tg20° + tg25° + tg20° tg25° = 1
Решение:
$tg20^\circ + tg25^\circ = 1 - tg20^\circ tg25^\circ <=> \frac{tg20^\circ + tg25^\circ}{1 - tg20^\circ tg25^\circ} = 1 <=> tg(20^\circ + 25^\circ) = tg45^\circ = 1$

Г) $tg20^\circ + tg40^\circ + \sqrt{3}tg20^\circ tg40^\circ = \sqrt{3}$
Решение:
$tg20^\circ + tg40^\circ = \sqrt{3}(1 - tg20^\circ tg40^\circ) <=> \frac{tg20^\circ + tg40^\circ}{1 - tg20^\circ tg40^\circ} = \sqrt{3} <=> tg(20^\circ + 40^\circ) = \sqrt{3}$

Д) sin(α + β)sin(α - β) = sin²α - sin²β

Е) cos(α + β)cos(alpha; - β) = cos²α - cos²β

Ж) $sin^2\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + sin^2\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - sin^2\alpha = \frac{1}{2}$

Зад. 2 В триъгълника ABC cos A = 12/13, cos B = 7/25. Да се пресметне синуса на външния ъгъл на триъгълника несъседен на тези два ъгъла.
Решение:
sin(180° - C) = sin C = sin(180° - (A + B)) = sin (A + B) = sinA.cosB + sinB.cosA
$cos A = \frac{12}{13} => sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{12^2}{13^2}\right)} = \frac{5}{13}$
$cos B = \frac{7}{25} => sin B = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{7^2}{25^2}\right)} = \frac{24}{25}$ $=> sin(108^\circ - C) = \frac{5}{13}.\frac{7}{25} - \frac{24}{25}.\frac{12}{13} = \frac{1}{13.25}(35 - 24.12) = -\frac{253}{325}$

Зад. 3 Докажете, че ако ъглите на един триъгълник удовлетворяват равенството sinα = 2sinβcosγ, то той е равнобедрен.
Решение:
γ = 180° - (α + β)
cosγ = cos(180° - (α + β)),
cosγ = -cos(α + β), тогава
=> sinα = -2sinβ.cos(α + β)
sinα + 2sinβ(cosαcosβ - sinαsinβ) = 0 <=>
sinα + 2sinβcosβcosα - 2sin²βsinα = 0\
sinα(1 - 2sin²β) + sin2βcosα = 0 (1)
Използваме формулите за понижение на степента на функции за сметка на нарастване на големината на аргумента
$sin^2\beta = \frac{1 - cos2\beta}{2}$
$cos^2\beta = \frac{1 + cos2\beta}{2}$
1 - 2sin²β = 1 - (1 - cos2β) = cos2β
(1) <=> sinαcos2β + sin2βcosα = 0
<=> sin(α + 2β) = 0 <=> α + 2β = kπ,
k = 0, ±1, ± 2
k = 0 => α = -2β,
α - в този случай външен => β = γ - равнобедрен
k = 1 => α = π - 2β => β = γ - равнобедрен.

Зад. 4
А) Представете като произведение:
1 + cos3α
1 - cos(α/2)
tgα - sinα
cos3α - sinα
tgα + tgβ
cotgα - cotgβ
tg2α - cotgα
1 + tgα
cotgα - 1
2cotg2α - 1
√3 - 2cosα
√2 + 2sinα
√3 + tgα
1 - √3cotg4α
√3 + 4cos3αsin3α
$\frac{1}{2cos\alpha} - tg \alpha$
$cotg\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}sin \left(\frac{ \alpha}{2} \right)}$
$tg\alpha + \frac{sin\beta}{2cos^2\alpha}$

Б) Представете като произведение:
$1 - \frac{sin^2 \alpha}{sin^2 \beta}$
$\frac{1}{2cos \left(\frac{\alpha}{2} \right)} - 1$
$\frac{1}{1 - 4sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)}$
$\frac{1}{1 - tg \alpha} - \frac{1}{1 + tg \alpha}$
$\frac{1}{4 cos \alpha} - sin^2 \alpha$
$4sin^4 \left(\frac{\alpha}{2}\right) + sin^2 \left(\frac{\beta}{2}\right) - 4sin^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)$
1 - tg²α.cotgβ
$3cotg^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$
3sin²α - cos²α
1 + sinα - cosα
$1 + tg2 \alpha + \frac{1}{cos2 \alpha}$
cos²β - sin²β.cotg²α
$1 + cotg \alpha - \frac{1}{sin \alpha}$
$1 - \sqrt{3}sin^ \left(\frac{\alpha}{2}\right) - cos \alpha$
sinα + sin2α + sin3α
cos5α + sin6α - cos7α
cos8α.cos10α - cosα.cos3α
sin10α.cos4α - sin6α.cos8α
sin(α + β).sin(α - β)
$sin \alpha - 2sin \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right) . cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$

В) Опростете изразите
cos(500° + α) + cos(400° - α)
sin(α + β) + cos(α - β)
sin2α - 2sinα
$\frac{1 - sin2 \alpha}{1 + sin2 \alpha}$
$\frac{tg2 \alpha - tg \alpha}{tg2 \alpha + tg \alpha}$
$cotg \frac{\alpha}{2} - 2 cotg \alpha$
$1 + tg \alpha . tg \frac{\alpha}{2}$
$\frac{1 - tg \alpha . tg \beta}{1 + tg \alpha . tg \beta}$
$\frac{sin \alpha + sin \beta}{sin \alpha - sin \beta} . tg \frac{\alpha - \beta}{2}$
sinα.cosα + sinβ.cosβ
$\frac{sin^2 \alpha - sin^2 \beta}{sin \left( \frac{\alpha}{2}\right).cos\left(\frac{\alpha}{2} \right) - sin \left( \frac{\beta}{2}\right).cos\left(\frac{\beta}{2} \right)}$
$\frac{cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta}{cos \alpha - cos \beta}$
cos24° + cos48° + cos60° + cos72°
tg30° + tg40° + tg50° + tg60°

Г) Проверете тъждествата
2sinα.sin2α + cos3α = cosα
$\frac{1}{2sin10^\circ} - 2sin70^\circ = 1$
sin3α = 4sinα sin(60° - α)sin(60° + α)
cos3α = 4cosα cos(60° - α)cos(60° + α)

Д) Изчислете
$sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right).cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$ , ако $sin \alpha = \frac{2}{3}, sin \beta = \frac{1}{3}$
$sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right).cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ , ако $sin \alpha = \frac{2}{3}, sin \beta = \frac{1}{3}$
$cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right).cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ , ако $cos \alpha = \frac{2}{3}, sin \beta = -\frac{4}{5}$ , β принадлежи II квадрант.
sin(α + β) и cos(α + β), ако sinα + sinβ = a, cosα + cosβ = b

Е) Определете вида на триъгълника според ъгъла му ако:
sinα = cosβ + cosγ
$sin \alpha = \frac{sin \beta + sin \gamma}{cos \beta + cos \gamma}$
$\frac{sin \alpha + sin \beta}{sin \gamma} = cotg \frac{\gamma}{2}$

Зад. 5 Пресметнете:
1) $\frac{sin^2(\alpha + \beta) - sin^2 \alpha - sin^2 \beta}{sin^2(\alpha + \beta) - cos^2 \alpha - cos^2 \beta}$
2) sin²(α - 2β) - cos²α - cos²2β
3) sin²(α - 2β) - sin²2α - cos²β
4) $2cotg \left( \frac{5 \pi + \alpha}{4} \right) \left( 1 + cos \left( \frac{\alpha - \pi}{2} \right) \right) . cos^{-1} \left(\frac{\pi}{2} - 2\pi \right) - 4 cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - 3 \pi \right)$
5) $2 - \frac{sin8 \alpha}{sin^4 2 \alpha - cos^4 \alpha}$
6) $\frac{2cos^2 2\alpha - 1}{2tg \left( \frac{\pi}{4} - 2 \alpha \right) . sin^2 \left( \frac{3}{4} \pi - 2 \alpha \right)} - tg 2 \alpha + cos 2 \alpha - sin 2 \alpha$
7) $\frac{cotg 2 \alpha + tg 2 \alpha}{1 + tg 4 \alpha . tg 2 \alpha}$
8) 1 - sin²α - sin²β + 2sinα sinβ cos(α - β)
9) $1 + cos \left(2 \pi - \frac{3}{2} \pi \right) + sin \left( 2 \alpha + \frac{3}{2} \pi \right) - cotg \left( \frac{\pi}{2} + 2 \alpha \right)$
10) $4 cos^2 \left( 2 \alpha - \frac{3}{2} \pi \right) + cos ( 2 \alpha - \pi ) + sin \left( \frac{5}{2} \pi - 6 \alpha \right)$
11) $\frac{\sqrt{1 + sin \alpha} + \sqrt{1 - sin \alpha}}{\sqrt{1 + sin \alpha} - \sqrt{1 - sin \alpha}}$ , ако а) 0° < α < 90° б) 90° < α < 180°
12) $2sin^2 \alpha + \sqrt{3} sin^4 \alpha - \frac{4tg2 \alpha (1 - tg^2 2 \alpha)}{sin8 \alpha (1 + tg^2 2 \alpha)}$
13) $cos^2 ( \alpha - 2 \beta ) - cos^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) - cos^2 (2 \beta - \alpha)$
14) 1 - cos(π - 8α) - cos(π + 4α)
15) cos2α - sin4α - cos6α
16) $sin^2 \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) + cos^2 \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) - cos \left( \alpha - \frac{3}{2} \pi \right) + sin \left( \frac{3}{2} \pi + \alpha \right)$
17) 2cos² 2α + √3sin4α - 1