Тригонометрични функции - sin, cos, tg, cotg

Нека имаме ортонормирана координатна система 0xy с център О и окръжност с център О и радиус 1(такава окръжност се нарича еденична окръжност).

Нека P e точка от окръжността и t е ъгъла между PO и положителната посока на oста 0x тогава:

х-координатата на т. P се нарича косинус от t и се пише cos(t);
y-координатата на т. P се нарича синус от t и се пише sin(t);
числото sin(t)/cos(t) се нарича тангенс от t и се пише tg(t);
числото cos(t)/sin(t) се нарича котангенс от t и се пише cotg(t).

Синусова функция

sin : R -> R
Всички тригонометрични функции са периодичнки. Периода на sin е 2π.
sin(x) се изменя в интервала [-1,1].

Косинусова функция

cos : R -> R
Периода на cos е 2π.
cos(x) се изменя в интервала [-1,1]

Тангенс

tg : R -> R
Периода на tg e π, тангенсовата функция е недефинирана в стойност x = (π/2) + kπ, к=0,1,2,...
tg може да приема всички стойности от R.

Котангенс

cotg : R -> R
Периода на cotg e π и функцията е недефинирана при x = kπ, к=0,1,2,...
cotg може да приема всички стойности от R.

Стойностите на sin, cos, tan, cotg за ъгли 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°

$\alpha^o$	$0^o$	$30^o$	$45^o$	$60^o$	$90^o$	$120^o$	$135^o$	$150^o$	$180^o$	$210^o$	$225^o$	$240^o$	$270^o$	$300^o$	$315^o$	$330^o$	$360^o$
$\alpha rad$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{4}$	$\frac{4\pi}{3}$	$\frac{3\pi}{2}$	$\frac{5\pi}{3}$	$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{11\pi}{6}$	$2\pi$
$sin\alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$
$cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$tg\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$
$cotg\alpha$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$-$

Лесен начин да запомните таблицата за основните стойности на sin и cos:
sin([0, 30, 45, 60, 90]) = cos([90, 60, 45, 30, 0]) = корен квадратен([0, 1, 2, 3, 4]/4)

Основно тригонометрично тъждество

Ако имаме една t радиана ще имаме точно една точка от единичната окръжност P(cos(t),sin(t)). Квадрата от дължината на [OP] = 1
=>

cos²(t) + sin²(t) = 1

Зависимости спрямо ъгъла

Ако t + t' = 180° то:

sin(t) = sin(t')
cos(t) = -cos(t')
tg(t) = -tg(t')
cotg(t) = -cotg(t')

Ако t + t' = 90° то:

sin(t) = cos(t')
cos(t) = sin(t')
tg(t) = cotg(t')
cotg(t) = tg(t')

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & -\alpha & 90^\circ - \alpha & 90^\circ + \alpha & 180^\circ - \alpha \\ \hline \textrm{ sin } & -\textrm{ sin }\alpha & \textrm{ cos }\alpha & \textrm{ cos } \alpha & \textrm{ sin }\alpha \\ \hline \textrm{ cos } & \textrm{ cos }\alpha & \textrm{ sin }\alpha & -\textrm{ sin} \alpha & -\textrm{ cos }\alpha \\ \hline \textrm{ tg } & -\textrm{ tg }\alpha & \textrm{ cotg }\alpha & -\textrm{ cotg } \alpha & -\textrm{ tg }\alpha \\ \hline \textrm{ cotg } & -\textrm{ cotg }\alpha & \textrm{ tg }\alpha & -\textrm{ tg } \alpha & -\textrm{ cotg }\alpha \\ \hline \end{tabular}$

Tригонометрични формули

cos(u-v) = cos(u).cos(v) + sin(u).sin(v)
cos(u + v) = cos(u - (-v)) = cos(u).cos(-v) + sin(u).sin(-v)

sin(u - v) = sin(u).cos(v) - cos(u).sin(v)
sin(u + v) = sin(u).cos(v) + cos(u).sin(v)

tg(u + v) =

sin(u + v)

cos(u + v)

sin(u).cos(v) + cos(u).sin(v)

cos(u).cos(v) - sin(u).sin(v)

tg(u + v) =

tg(u) + tg(v)

1 - tg(u).tan(v)

sin(2u) = 2sin(u).cos(u)
cos(2u) = cos²(u) - sin²(u)

tan(2u) =

2tg(u)

1 - tg²(u)

cos(2u) =

1 - tg(u)²

1 + tg²(u)

sin(2u) =

2tg(u)

1 + tg²(u)

1 + cos(2u) = 2 cos²(u)
1 - cos(2u) = 2 sin²(u)

Формули за събиране и умножение на тригонометрични функции

$\textrm{ sin } \alpha + \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textrm{ sin } \alpha - \textrm{ sin }\beta = 2 \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \\ \textrm{ cos } \alpha + \textrm{ cos }\beta = 2 \textrm{ cos }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ cos }\frac{\alpha - \beta}{2} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textrm{ cos } \alpha - \textrm{ cos }\beta = -2 \textrm{ sin }\frac{\alpha + \beta}{2} \textrm{ sin }\frac{\alpha - \beta}{2} \\ \textrm{ sin }\alpha \textrm{ sin }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) - \textrm{ cos }(\alpha + \beta)) \qquad \qquad \qquad \textrm{ cos }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ cos }(\alpha - \beta) + \textrm{ cos }(\alpha + \beta)) \\ \textrm{ sin }\alpha \textrm{ cos }\beta = \frac{1}{2} (\textrm{ sin }(\alpha + \beta) + \textrm{ sin }(\alpha - \beta))$

Задачи за упражнение

Задача 1:
Да се реши уравнението sin⁴x + cos⁴x = cos2x + 1/2

Задача 2:
Да се реши уравнението sin2x.sin5x = sinx.sin6x

Задача 3:
Да се реши тригонометричното уравнение sin(x + 75°) + sin(x + 15°) = √6.1/2

Задача 4:
Да се реши тригонометричното уравнение
sin2x - 2cos²x + 5cosx = 0

Задача 5:
При кои стойности на реалния параметър p, уравнението има решение
1 + psinx = p² - sin²x

Още тригонометрия

Програма за чертаене на графики
Задачи върху тригонометрия

Форум за тригонометрия
Форум за тригонометрия - архив

Изпратете материали(програми), свързани с математика на: