Квадратно уравнение

Програма за решаване на квадратни уравнения

Квадратното уравнение има следния вид: ax² + bx + c = 0
където a,b,c са реални числа, и a ≠ 0. Всяко квадратно уравнение може да има 0, 1 или 2 реални корена
получени по следната формула:

Числото D = b² - 4ac се нарича дискриминанта.
Ako D < 0, квадратното уравнение няма реални корени. Ako D = 0, уравнението има 1 реален корен x = - ^b/_2a. Ako D > 0, квадратното уравнение има 2 реални корена.

Пример:
Ако имаме следното уравнение: x² + 3x - 4 = 0
a = 2, b = 3, c = -4
example of solving quadratic equation

Парабола

Графиката на квадратното уравнение се нарича парабола.
Ако a > 0 върха на параболата сочи надолу:

ако a < 0 върха на параболата сочи нагоре:

Върха на всяка парабола има координата x = -b/2a.

Задачи за квадратно уравнение

1) x² - 4 = 0; x = ?
Отговор: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
x = 2 или x = -2

2) 3x² + 4x + 5 = 0; x = ?
Отговор: дискриминантата е равна на 4² - 4.3.5 = 16 - 60 = -44 < 0. Тя е по малка от 0 значи квадратното уравнение няма реални решения.

3) x² + 4x - 5 = 0; x = ?
Отговор: дискриминантата 4² - (-4.1.5) = 16 + 20 = 36 > 0. Тя е по голяма от 0 следователно уравнението има две решения: ¹/₂(-4 ± √36)
x = 1 или x = -5

4) x² + 4x + 4 = 0; x = ?
Отговор: дискриминантата е равна на 4² - (4.1.4) = 16 - 16 = 0, следователно уравнението има 2 реален корен: ¹/₂(-4)
x = -2

5) x² - 13x + 12 = 0
Отговори: 1, 12
Начертайте графиката на функцията: f(x) = x² - 13x + 12

6) 8x² - 30x + 7 = 0
Отговори: 3.5, 0.25
Начертайте графиката на функцията: f(x) = 8x² - 30x + 7

7) 3х⁴ - 2x² - 1 = 0
Toва уравнение е от 4та степен, но ако положим х² = u, то получаваме
3u² -2u -1 = 0
u1,2 = (1±v1+3)/3 = (1±2)/3
u1 = 1 ; u2 = -1/3 следователно
х² = 1 ; х² = -1/3
От² получаваме х1,2 = ± 1 , х² = -1/3 мяма корени. Следователно даденото уравнение има само два реални корена.

8) Да решим уравнението:
(х² - 2x + 3)² - 5(х² - 2x + 3) + 4 = 0
Решение: Това уравнение е от четвърта степен. Но и тук лесно се забелязва, че относно х² - 2x + 3 то е от втора степен. Ако означим х² - 2x + 3 = u получаваме квадратното уравнение
u² - 5u + 4 = 0 То има корени
u_1,2 = (5±√25 – 16)/2 = (5 + 3)/2; u₁ = 4, u₂ = 1
Даденото уравнение е равносилно на дизюнкцията от уравнения:
х² - 2x + 3 = 4 или х² - 2x + 3 = 1
х² - 2x + 3 = 4 <=> х² - 2x - 1 = 0, х_1,2 = 1±√1 + 1 = 1 ± √2
х² - 2x + 3 = 1 <=> х² - 2x + 2 = 0, D = 1 – 1.2 = - 1 Това уравнение няма реални корени.
Следователно даденото уравнение има само два реални корена: 1 + √2; 1 - √2

Решете уравнениятя:
х/2 – 4/х = 1;
(1 –х )/х = 2х/(2 + х);
3/х + 3/(х – 4) = 1; отг: -1
(5х + 1)/(х + 2) = (х + 1)/х
х/(х – 2) + 5/(х + 2) = 8/(х² - 4);
(2х – 5)/( х² - 3х) – (х + 2)/( х² + 3х) = (5 – х)/( х² - 9)
Отг. -2; 4; -1; 2/3; 1; - ?; 5 + v13; - 9; - 3/2

И още малко уравнения:
2х⁴ - 6x² - 7 = 0
x⁴ + 5x² + 4 = 0
3x⁴ - x² - 2 = 0
(x⁴ + 3)/6 – (x² + 4)/3 = 5
x²/( x² - 2) + 1/( x² + 2) = 13/6
(2 x² - 1)² - 3(2 x² - 1) = 4
(2 x² - x) ² + 2(2 x²- x) – 3 = 0
(x² -x – 1)² - 5(x² - x – 1) = 6
2(x² + x – 2) ² + x² + x – 2 = 10
(3x – 1) ⁴ - 4(3x – 1)² + 3 = 0

Отг. ±√3 + √23/2; няма реални корени; ± 1; ±√7; ± 2; ±√5/2; 0; 1; -1/2; (1 ± √29)/2; 0; 1 ( -1 ± √17)/2; 0; 2/3; (1 ±√3)/3

Квадратни уравнения с параметри

Вече решихме квадратното параметрично уравнение
aх² + bx + c = 0, a ≠ 0
Сега ще разгледаме други задачи, в които се използуват квадратни уравнения с параметри.
Да решим уравнението x² - 3х + p + 1 = 0 с параметър р и неизвестно х
Решение:
Дискриминантата на това уравнение е D = (- 3)² - 4.1.(p + 1) = 9 – 4p – 4 = 5 – 4p
Виждаме, че квадратното уравнение има или няма реални корени в зависимост от знака на израза 5 – 4р;
5 – 4р ≥ 0 <=> 5 ≥ 4р <=> р ≤ 5/4
5 – 4р < 0 <=> р > 5/4
Получихме, че
D ≥ 0 за р ≤ 5/4 и D < 0 за р > 5/4
Следователно множеството от квадратни уравнения, определено от даденото параметрично уравнение, се разделя на две части:
Множеството от уравненията, за които р ≤ 5/4 Те имат корени, които се пресмятат с формулата х_1,2 = (3 ± √5 – 4р)/2
Множеството от уравненията, за които р > 5/4. Те нямат реални корени

Задача: Да намерим всички стойности на параметъра к, за които уравнението кx² - х + 2 = 0 има само един или няма реални корени
Решение:
За к = 0 уравнението е 0. x² - х + 2 = 0 <=> х = 2 То има един корен 2.
За к ≠ 0 уравнението е квадратно.
Знаем, че квадратното уравнение има два корена, ако D > 0, и няма реални корени ако D < 0, и има един корен ако D = 0 . В случая дискриминантата е:
D = ( -1)² - 4.k.2 = 1 – 8k
Следователно математическият модел на задачата е неравенството 1 – 8к ≤ 0
Решаваме го: 1 – 8к ≤ 0 <=> 1 ≤ 8к <=> к ≥ 1/8
Така пшолучаваме к = 0 или к € (1/8; + ?)

Задача: Да решим уравнението:
(x + k)/k + x/(x – k) = (x – k)/2k, ако к е параметър, х – неизвестно Решение:
За всяка стойност на к, стига тя да не е нула, от даденото параметрично уравнение се получава по едно дробно уравнение. Дефиниционното множество на параметричното уравнение се определя от условието х ≠ к. В това дефиниционно множество то е равносилно на уравнението:
2(х + к)(х – к ) + 2кх = (х – к) )² <=>
2х² - 2к² + 2кх = х² - 2кх + к² <=>
х² + 4кх – 3к² = 0
Задачата се сведе до решаване на параметричното квадратно уравнение
х² + 4кх – 3к² = 0, к ≠ 0, х ≠ к
Понеже D = (2k)² - 1 . (-3k²) = 4k² + 3k² = 7k² >= 0, това уравнение има корени х_1,2 = -2к ± к√7 = (-2 ± √7)к ако те не са равни на к
Да намерим за кои стойности на к числото х₁ или х₂ е равно на к:
х₁ = к <=> (-2 + √7)к = к х₂ = к <=> (-2 - √7)к = к
Всяко от тези равенства е вярно само за к = 0. Но в решаваната задача
к ≠ 0 Следователно, всяко дробно уравнение, принадлежащо на множеството уравнения, определено от даденото параметрично уравнение, има два корена, които се пресмятат с формулата
х_1,2 = ( - 2 ± √7)к

Формули на Виет

Франсоа Виет е живял от 1540 до 1603 година. Този забележителен математик е доказл следните зависимости:
Ако х₁ и х₂ са корени на квадратното уравнение
ах² + bx + c = 0, а ≠ 0, то:

х₁ + х₂ = - b/a х₁.х₂ = с/а

Обратна теорема на Виет

Ако за числата х₁ и х₂ са верни равенствата:
х₁ + х₂ = - b/a
х₁.х₂ = с/а
то х₁ и х₂ са корени на уравнението ах² + bx + c = 0

Задачи за упражнение

Забранено е обсъждането на задачите във форума! Ако нарушите забраната, няма да имате достъп до форума!

Задача 1:
Да се реши квадратното уравнение
(x - 2)² - 9 = 0
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath116 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Задача 2:
Да се реши квадратното уравнение:
x² + 21x + 111 = 0
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath117 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Задача 3:
Да се намери сборът и произведението от корените на уравнението:
x² + 3x - 28 = 0
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath118 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Задача 4:
Да се реши биквадратното уравнение:
x⁴ + 5x² + 6 = 0
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath119 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Още за уравнения във форума

форум за уравнения

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: