Уравнения от вида
(a₁x + b₁).(a₂x + b₂) = 0

Едно произведение от две числа е нула точно тогава, когато поне единият от множителите е нула. И така от (а₁х + b₁)(а₂х + b₂) = 0 следва, че а₁х + b₁ = 0 или а₂х + b₂ = 0, и обратно от а₁ + b₁ = 0 или а₂ + ₂ = 0 следва, че (а₁х + b₁)(а₂х + b₂) = 0

1.Решете уравнението:
А) (2х + 4)(3х - 6) = 0
Б) х(7х - 21) = 0
В) (9х - 6)(2х - 1) = 0
Г) (3х + 12)х = 0

Решение:

А) От (2х + 4)(3х - 6) = 0 следва, че 2х + 4 = 0 или 3х - 6 = 0, откъдето намираме 2х = - 4 <=> х = - 2 или 3х = 6 <=> х = 2

Б) Тъй като х(7х - 21) = 0 <=> х = 0 или 7х - 21 = 0, то получаваме х = 0 или х = 3

В) Понеже ( 9х - 6)(2х - 1) = 0 <=> 9х – 6 = 0 или 2х - 1 = 0, то
х = 6/9 = 2/3 или х = 1 / 2

Г) От ( 3х + 12)х = 0 получаваме 3х + 12 = 0 или х = 0, т.е.
х = - 4 или х = 0

2. Решете уравнението:
А) 9у² – 1 = 0
Б) у – у² = 0
В) 36у² - 49 = 0
Г) у – у³ = 0

Решение:

За да решим горните уравнения, достатъчно е да представим лявата страна на всяко от тях в произведение.

A) Понеже 9у² - 1 = (3у)² – 1² = (3у - 1)(3у + 1), то
9у² - 1 = 0 <=> (3у - 1)(3у + 1) = 0 <=>
3у - 1 = 0 или 3у + 1 = 0 <=> у = 1 / 3 или у = - 1 / 3 <=>
Следователно корените на уравнението 9у² - 1 = 0 са у = 1/3 и у = - 1/3

Б) у – у² = у(1 – у), следователно у – у² = 0 <=> у = 0 или 1 – у = 0 От тук следва, че корените са у = 0, у = 1

В) 36у² - 49 = (6у)² -7² = (6у – 7).(6у + 7) Така получаваме 36у² - 49 = 0 <=> (6у – 7).(6у + 7) = 0 <=> 6у - 7 = 0 или 6у + 7 = 0, откъдето у = 7/6 и у = -7/6

Г) у – у³ = 0 <=> у(1 – у²) = 0 <=> у(1 – у)(1 + у) = 0 <=> у = 0, 1, -1

3.Решете уравнението:
A) 4х² + 4х + 1 = 0
Б) х² + 2х + 1 = 0

Решение:

A) Понеже 4х² + 4х + 1 = (2х + 1)², то 4х² + 4х + 1 = 0 <=>
(2х + 1)² = (2х + 1)(2х - 1) = 0 <=> 2х + 1 = 0 или 2х + 1 = 0 Тъй като получените уравнения имат един и същ корен х = - 1 / 2, казваме, че уравнението 4х² + 4х + 1 = 0 има двоен (двукратен) корен;

Б) х² + 2х + 1 = 0 <=> (х + 1)² = 0 <=> х = - 1 е двукратен корен

4. Решете уравнението: A) 2х² + х - 3 = 0
Б) х² + х – 12 = 0
В) 3х² + 14х - 5 = 0
Г) 4х³ + 11х² + 6х = 0
Д) х² + х - 2 = 0

Решение:

A) 2х² + х - 3 = 0 <=> 2х² + 3х - 2х - 3 = 0 <=> 2х(х - 1) + 3(х - 1) = 0 <=> (х - 1)(2х + 3) = 0 <=> х - 1 = 0 или 2х + 3 = 0 Следователно х = 1 или х = - 3 / 2

Б) х² + х – 12 = 0 <=> х² + 4х – 3х – 12 = 0 <=> х(х + 4) – 3(х + 4) = 0 <=> (х + 4)(х - 3) = 0 <=> х + 4 = 0 или х - 3 = 0, т.е. х = - 4 или х = 3

В) 3х² +14х – 5 = 0 <=> 3.х² + 15х – х – 5 = 0 <=> х(3х - 1) + 5(3х - 1) = 0 <=> (3х – 1)(х + 5) = 0 <=> х = 1 / 3 или х = - 5

Г) 4х³ + 11х² + 6х = 0 <=> х(4х² + 11х + 6) = 0 <=>
х(4х² + 8х + 3х + 6) = 0 <=> х[ 4х(х + 2) +3(х + 2)] = 0 <=>
х(х + 2)(4х + 3) = 0 => х = 0, -2, - 3 / 4;

Д) х² + х - 2 = 0 <=> х² + 2х – х - 2 = 0 <=> х(х - 1) + 2(х - 1) = 0 o (х - 1)(х + 2) = 0 => х = 1 или х = - 2

5. Решете уравнението:
A) 1 – х + 2(х - 1)² = 0
Б) (х - 2)² – (х + 2)(х - 2) = (х + 2)²+ 4
В) (х + 3)(х + 2) - 2(х + 2) = 0
Г) х²(х + 1) – х - 1 = 0

Решение:

A) (1 – х) + 2(х - 1)² = 0 <=> 1 – х + 2(1 – х)² = 0 <=> (1 – х)[1 + 2(1 – х)] = 0 <=> (1 – х)(1 + 2 - 2х) = 0 <=> 1 – х = 0 или 3 - 2х = 0 => х = 1 или х = 3 / 2

Б) х² - 4х + 4 – (х² + 2х - 2х - 4) = х² + 4х + 4 + 4 <=>
- 4х – х² + 4 = 4х + 4 <=> х² + 8х = 0 <=> х(х + 8) = 0 <=> х = 0 или х = -8

В) (х + 2)(х + 3) - 2(х + 2) = 0 <=> (х + 2)(х + 1) = 0 <=>
х = - 2 или х = - 1

Г) х²(х + 1) – (х + 1) = 0 <=> (х + 1)(х² -1) = 0 <=> (х + 1)(х - 1)(х + 1) = 0 <=> х + 1 = 0 или х - 1 = 0 => х = - 1 (двоен корен) и х = 1

6. Даден е многочленът f (х) = 2х³ - 4х² + 2х Разложете f(х) на множители и намерете стойностите на х, за които f(х) = 0

Решение:
f(х) = 2х³ - 4х² + 2х = 2х(х² - 2х + 1) = 2х(х - 1)², f(х) = 0 <=> 2х(х - 1)² = 0 <=> х = 0 или (х - 1)² = 0 <=> х = 0 или х = 1

7. Дадени са многочлените М = а⁴ - 1; N = а³ + 1 + а + а² и
Р = а³ - 1 – а² + а
A) Да се разложат М, N и Р на прости множители;
Б) Да се разложи на прости множители многочленът Q = 4М + 5 + Р
В) Да се намерят стойностите на а, за които стойността на Q е нула

Решение:

А) M = (a²) - 1² = (a - 1)(a² + 1) = (a -1)(a + 1)(a² + 1)
N = a³ + 1 + a + a² = a³ + 1³ + a(a + 1) = (a + 1)(a² –a + 1) + a(a + 1) = (a + 1(a² –a + 1 + a) = (a + 1)(a² +1)
P = a³ - 1 – a² + a = (a - 1)(a² + a + 1) – a(a - 1) = (a - 1)(a² + a + 1) = (a - 1)(a² + 1)

Б) Q = 4(a⁴ - 1) + 5(a³ + 1 + a + a²) + a³ - 1 – a² + a = 4a⁴ - 4 + 5a³ + 5 + 5a + 5a² + a³ -1 – a² + a = 4a⁴ + 6a³ + 4a² + 6a = 2a(2a³ + 3a² + 2a + 3) = 2a[2a(a² + 1) + 3(a² +1)] = 2a(a² + 1)(2a + 3)

В) Q = 0 <=> 2a(a² + 1)(2a + 3) = 0 <=> a = 0 или a² + 1 = 0, или 2a + 3 = 0
От първото и третото уравнение получаваме а = 0 и а = - 3/2, а второто уравнение няма решение, понеже а² +1 е положително число за всяко а

8. Дадени са многочлените А = а⁴ - 4а² + 4а - 1 и В = а³ + 1 – а – а²
A) Да се разложи на прости множители многочленът С = А + В
Б) Да се намери за коя стойност на а многочленът С е равен на нула.

Решение:

А) С = а⁴ - 4а² + 4а - 1 + а³ + 1 – а – а² = а⁴ + а³ - 5а² + 3а = а(а³ + а² - 5а +3)
а(а³ - 2а² + 3а - 6а + а + 3) = а [а²(а + 3) - 2а(а + 3) + (а + 3) ] =
а(а + 3)(а² - 2а + 1) = а(а + 3)(а - 1)²