Хиперболични функции - sh, ch, thx, cth

Дефиниции за хиперболични функции

Синус хиперболичен от x = sh x = (e^x - e^-x)/2

Косинус хиперболичен от x = ch x = (e^x + e^-x)/2

Тангенс хиперболичен от x = thx x = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)

Котангенс хиперболичен от x = cth x = (e^x + e^-x)/(e^x - e^-x)

Секант хиперболичен от x = sech x = 2/(e^x + e^-x)

Косекант хиперболичен от x = csch x = 2/(e^x - e^-x)

Връзки между хиперболичните функции

thx x = sh x/ch x

cth x = 1/thx x = ch x/sh x

sech x = 1/ch x

csch x = 1/sh x

ch²x - sh²x = 1

sech²x + thx²x = 1

cth²x - csch²x = 1

Отрицателени аргументи

sh(-x) = -sh x

ch(-x) = -ch x

thx(-x) = -thx x

csch(-x) = -csch x

sech(-x) = -sech x

cth(-x) = -cth x

Формули за сбор

sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y

ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y

thx(x ± y) = (thx x ± thx y)/(1 ± thx x.thx y)

cth(x ± y) = (cth x cth y ± l)/(cth y ± cth x)

Формули за двоен ъгъл

sh 2x = 2 sh x ch x

ch 2x = ch²x + sh²x = 2 ch²x — 1 = 1 + 2 sh²x

thx 2x = (2thx x)/(1 + thx²x)

Формули за половин ъгъл

sh x/2 = ± [+ if x > 0, - if x < 0]

ch x/2 =

thx x/2 = ± [+ if x > 0, - if x < 0]

= <(sh x)/(ch x — 1) = (ch x + 1)/sh x

Формули за 3 и 4 пъти ъгъл

sh 3x = 3 sh x + 4 sh³ x

ch 3x = 4 ch³ x — 3 ch x

thx 3x = (3 thx x + thx³ x)/(1 + 3 thx²x)

sh 4x = 8 sh³ x ch x + 4 sh x ch x

ch 4x = 8 ch⁴ x — 8 ch² x + 1

thx 4x = (4 thx x + 4 thx³ x)/(1 + 6 thx² x + thx⁴ x)

Формули за сваляне на степента на хиперболичните функции

sh² x = ½ch 2x — ½

ch² x = ½ch 2x + ½

sh³ x = ¼sh 3x — ¾sh x

ch³ x = ¼\ ch 3x + ¾ch x

sh⁴ x = 3/8 - ½ch 2x + 1/8ch 4x

ch⁴ x = 3/8 + ½ch 2x + 1/8ch 4x

Формули за сума, разлика и произведение на хиперболични функции

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x - y)

sh x - sh y = 2 ch ½(x + y) sh ½(x - y)

ch x + ch y = 2 ch ½(x + y) ch ½(x - y)

ch x - ch y = 2 sh ½(x + y) sh ½(x — y)

sh x sh y = ½(ch (x + y) - ch (x - y))

ch x ch y = ½(ch (x + y) + ch (x — y))

sh x ch y = ½(sh (x + y) + sh (x - y))

Изразяване на хиперболичните функции чрез хиперболични функции

При x > 0(При x < 0 използваме формулите за отрицателен ъгъл) имаме:

	sh x = u	ch x = u	thx x = u	cth x = u	sech x = u	esch x = u
sh x	u	u	u/	l/	/u	1/u
ch x		u	1/	u/	1/u	/u
thx x	u/	/u	u	1/u		1/
cth x	/u	u/	1/u	u	1/
sech x	1/	1/u		/u	u	u/
csch x	1/u	1/	/u		u/	u

Графики на хиперболичните функции

y = sh x

y = ch x

y = thx x

y = cth x

y = sech x

y = csch x

Обратни хиперболични функции

Ако x = sh y, то y = sh^-1 се нарича обратен хиперболичен синус от x. По аналогичен начин дефинираме другите обратни хиперболични функции. Обратните хиперболични функции имат много стойности и както и при обратните тригонометрични функции ги ограничаваме така, че да са равни на една стойност.

По-долу изразяваме обратните хиперболични функции с логаритмични функции, които приемат реално стойности.

sh^-1 x = ln (x +) -∞ < x < ∞

ch^-1 x = ln (x + ) x ≥ 1 [ch^-1 x > 0]

thx^-1x = ½ln((1 + x)/(1 - x)) -1 < x < 1

cth^-1 x = ½ln((x + 1)/(x - 1)) x > 1 or x < -1

sech^-1 x = ln ( 1/x + ) 0 < x ≤ 1 [sech^-1 a; > 0]

csch^-1 x = ln(1/x + ) x ≠ 0

Зависимости на обратните хиперболични функции

csch^-1 x = sh^-1 (1/x)

sech^-1 x = ch^-1 (1/x)

cth^-1 x = thx^-1 (1/x)

sh^-1(-x) = -sh^-1x

thx^-1(-x) = -thx^-1x

cth^-1 (-x) = -cth^-1x

csch^-1 (-x) = -csch^-1x

Графики на обратните хиперболични функции

y = sh^-1x

y = ch^-1x

y = thx^-1x

y = cth^-1x

y = sech^-1x

y = csch^-1x

Връзка между тригонометричните и хиперболичните функции

sin(ix) = i sh x	cos(ix) = ch x	tg(ix) = i thx x
csc(ix) = -i csch x	sec(ix) = sech x	cotg(ix) = -i cth x
sh(ix) = i sin x	ch(ix) = cos x	thx(ix) = i tg x
csch(ix) = -i csc x	sech(ix) = sec x	cth(ix) = -i cotg x

Период на хиперболичните функции

Във формулите k е произволно цяло число.

sh (x + 2kπi) = sh x csch (x + 2kπi) = csch x

ch (x + 2kπi) = ch x sech (x + 2kπi) = sech x

thx (x + kπi) = thx x cth (x + kπi) = cth x

Връзка между обратните хиперболични и обратните тригонометрични функции

sin^-1 (ix) = ish^-1x	sh^-1(ix) = i sin^-1x
cos^-1 x = ±i ch^-1 x	ch^-1x = ±i cos^-1x
tg^-1(ix) = i thx^-1x	thx^-1(ix) = i tg^-1x
cotg^-1(ix) = -i cth^-1x	cth^-1 (ix) = -i cotg^-1x
sec^-1 x = ±i sech^-1x	sech^-1 x = ±i sec^-1x
csc^-1(ix) = -i csch^-1x	csch^-1(ix) = -i csc^-1x

Хиперболични функции във форума

Форум за висша математика

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: