Геометрична прогресия

Геометричната прогресия е последователност от числа, такива че частното от всеки две последователни числа е константа, която се нарича частно.

Геометричната прогресия може да се запише по следния начин:

aq⁰=a, aq¹=aq, aq², q³, ...

където q ≠ 0, q - частно, а a e първия член.

Формулата за n-тия член е:

a_n = a_n-1.q
a_n = a₁.q^n-1

Следователно частното се получава като:

q =

a_k

a_k-1

Примери за геометрична прогресия

Геометрична прогресия с частно 2 и първи член 1 изглежда така: 1, 2, 4, 8, 16, 32,...
а с частно -1 и първи член 5 5, -5, 5, -5, 5, -5, 5, -5,...

Ако частното е:

Отрицателно, ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа
По-голямо от 1, ще имаме клоняща към плюс безкрайност редица
По малко от -1, ще имам 2 редици едната клоняща кам минус безкрайност, а другата към плюс безкрайност.
Между 1 и -1, редицата ще клони към 0
0, геометричната прогресия ще се състои от само от 0

Свойства

a²_k = a_k-1.a_k+1
a₁.a_n = a₂.a_n-1 =...= a_k.a_n-k+1

Формула за намиране на сбора на първите n члена S_n на геометрична прогресия.

S_n =

a₁ - a_nq 1 - q

= a₁.

1 - qⁿ 1 - q

Безкрайна намаляваща геометрична прогресия

Ако |q| < 1, тогава геометричната прогресия се нарича безкрайна намаляваща геометрична прогресия т.е. а_n -> 0, когато n -> ∞ Сумата от членовете на такава прогресия се получава по формулата.

S =

1 - q

където |q| < 1

Задачи

1) Реда 2, 4, 6, 8... геометрична прогресия ли е?
Отговор: не. Числото 6 нарушава правилото

2) Ако е дадена геометрична прогресия 2, 4, 8.... На колко ще е равен 10-тия член?
Отговор: може да използваме формулата a_n = a₁ . q^n-1
a₁₀ = 2 . 2^10-1 = 2 . 512 = 1024

3) Намерете първия член и часното на геометрична прогресия ако:
a₅ - a₁ = 15
a₄ - a₂ = 6
Отговор: има 2 геометрични прогресии първата е с първи член 1 и часно 2
второто решение е -16, 1/2

Задачи за упражнение

Забранено е обсъждането на задачите във форума! Ако нарушите забраната, няма да имате достъп до форума!

Задача 1:
Осмият член на геометрична прогресия е 256, а частното и е 4. Да се намери първият член на прогресията.
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath110 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Задача 2:
Да се определи часното и сумата от членовете на геометрична прогресия, за която
a₁ = -1,5, n = 4, a_n = 96
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath111 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Задача 3:
Да се намери първия член и частното на геометрична прогресия, за която
|a₄ - a₂ = 18
|a₅ - a₃ = 36
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath112 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Задача 4:
Три числа - a, b, c - обрзуват в посочения ред геометрична прогресия, а числата a, 2b и 3c образуват в посочения ред аритметична прогресия. Всяко от числата а, b, c не е 0. Да се намери частното на геометричната прогресия.
Отговор: За да получите отговор, упътване или решение изпратете sms със съдържание pay newmath113 на номер 2250(0,60 лв. с ддс)

Аритемтична прогресия

Още за геометрична прогресия

Може да публикувате или видите решения на задачи за прогресии: още във форума за прогресии

изпрати на приятел
Редактирай страницата
Направи нова страница
Изпратете материали(програми), свързани с математиката на: