Math10.com

 

Детерминанти

Програма за пресмятане на детерминанти на матрица 3x3 създадена от Владислав Ризов 1-ви курс в Колеж по телекомуникации и пощи - София.
свалете програмата

Детерминанти от втори ред

Така се нарича израза ab₁ – a₁b, записан във вида

a   b  a1 b1

където а, а₁, b, b₁, са произволни числа, които се наричат елементи на детерминантата.
Казваме, че елементите а, b, a₁, b₁ принадлежат съответно на първия и втория(хоризонтален) ред, а а, а₁, и b, b₁, - съответно на първия и втория(вертикален) стълб на детерминантата. Елементите а, b₁ определят главния диагонал, а а₁, b – второстепенния диагонал.
Лесно се забелязва, че:

Пример 1:

2 3 4 5

= 2.5 – 3.4 = - 2

Пример 2:

2 -2 1 2

= 2.2 – (-2).1 = 6

Пример 3: Да се пресметне детерминантата

sinα cosα sinβ cosβ

Решение: Разглежданата детерминанта е равна на
sinα.cosβ – cosα.sinβ = sin(α - β)

Пример 4 Да се пресметне детерминантата

1 + а 1 + b 1 – a 1 - b

Решение:

1 + а 1 + b 1 – a 1 - b

= (1 + a)(1 – b) – (1 + b)(1 – a) = 2(a – b)

Някои свойства на детерминантите от втори ред

Нека е дадена детерминантата

а   b a1 b1

Да разменим редовете със стълбовете й. Получаваме детерминантата

а а1 b b1

която се нарича транспонирана на дадената

Това се вижда непосредствено след развиването на двете детерминанти съгласно дефиниционното правило. Ако разменим местата на първия и втория ред, детерминантата изменя своя знак, т.е.

а   b  a1 b1

=

a1 b1  a   b

Същото се отнася и за стълбовете.

Ако елементите на първия ред(стълб) са съответно равни на елементите на втория ред(стълб), то детерминантата е равна на нула

Пример:

0 а 0 b

= 0.b – а.0 = 0

Например:

ka kb a1 b1

=

k.

a b a1 b1

понеже

ka kb а b

= ka.b1 – kb.a1 = k(ab1 –ba1) =

k.

a1 b1 a1 b1

Пример:

а' + а" b' + b" а1    b1

=

а' b' а1 b1

+

а" b" а1 b1

Доказателство

а' + а" b' + b" а1    b1

=

(а' + а").b1 – (b' + b").a1 = a'b1 – b'a1 + a"b1 – b"a1 =

=

а' b' а1 b1

+

а" b" а1 b1

Решаване на система от 2 линейни уравнения с две неизвестни с помоща на детерминанти

Общият вид на една такава система е
| ах + by = c
| a₁x + b₁y = c₁
За да решим тази система, умножаваме двете страни на първото уравнение с b₁, а второто с b, събираме почленно така получените нови уравнения и намираме
(ab₁ – a₁b)x + 0.y = b₁.c – bc₁
Също така, като умножим първото уравнение с а₁, а второто с –а, след полученото събиране получаваме
0.х + (а₁b – ab₁)y = a₁c – ac₁
Множителят a₁b – ab₁ не ни интерисува. При условие, че а₁b – ab₁ + 0 решението х, у на дадената система е
х = (b₁c – bc₁)/(ab₁ – a₁b) y = (a₁c – ac₁)/(a₁b – ab₁) = (ac₁ – a₁c)/(ab₁ – a₁b)
Пример: С помощта на детерминанти да се реши системата
|2х + 3у = 4
|2х – 2у = 1
Решение: Детерминантата на системата е

2  3 2 -2

= 2.(-2) – 3.2 = -10

Другите две детерминанти, отговарящи на х и у, се получават, като заместим съответно елементите на първия и втория стълб в тази детерминанта със свободните членове:

4  3 1 -2

= 4.(-2) – 3.1 = -11

2 4 2 1

= 2.1 – 4.2 = - 6

Така решението на системата е

x =

4  3 1 -2

:

2  3 2 -2

= -11 : -10 = 1,1

y =

2 4 2 1

:

2  3 2 -2

= -6 : (-10) = 0,6

Още за детерминанти във форума

матрици и детерминанти във форума

Още детерминан във форума за математика

За мен   За реклама   Дарения    Детска енциклопедия