Детерминанти

Детерминанти от втори ред

Така се нарича израза ab₁ – a₁b, записан във вида

a b
a₁ b₁

където а, а₁, b, b₁, са произволни числа, които се наричат елементи на детерминантата.
Казваме, че елементите а, b, a₁, b₁ принадлежат съответно на първия и втория(хоризонтален) ред, а а, а₁, и b, b₁, - съответно на първия и втория(вертикален) стълб на детерминантата. Елементите а, b₁ определят главния диагонал, а а₁, b – второстепенния диагонал.
Лесно се забелязва, че:

Стойността на една детерминанта от втори ред е равна на разликата от произведенията на елементите съответно от главния и второстепенния диагонал.

Пример 1:

2 3
4 5

= 2.5 – 3.4 = - 2

Пример 2:

2 -2
1 2

= 2.2 – (-2).1 = 6

Пример 3: Да се пресметне детерминантата

sinα cosα
sinβ cosβ

Решение: Разглежданата детерминанта е равна на
sinα.cosβ – cosα.sinβ = sin(α - β)

Пример 4 Да се пресметне детерминантата

1 + а 1 + b
1 – a 1 - b

Решение:

1 + а 1 + b
1 – a 1 - b

= (1 + a)(1 – b) – (1 + b)(1 – a) = 2(a – b)

Някои свойства на детерминантите от втори ред

Нека е дадена детерминантата

а b
a₁ b₁

Да разменим редовете със стълбовете й. Получаваме детерминантата

а а₁
b b₁

която се нарича транспонирана на дадената

Всяка детерминанта е равна на своята транспонирана

Това се вижда непосредствено след развиването на двете детерминанти съгласно дефиниционното правило. Ако разменим местата на първия и втория ред, детерминантата изменя своя знак, т.е.

а b
a₁ b₁

a₁ b₁
a b

Същото се отнася и за стълбовете.

Ако елементите на първия ред(стълб) са съответно равни на елементите на втория ред(стълб), то детерминантата е равна на нула

Ако елементите на един ред или стълб са равни на нула, то и детерминантата е равна на нула.

Пример:

0 а
0 b

= 0.b – а.0 = 0

Общият множител на елементите на един ред или стълб можем да изнесем пред детерминантата

Например:

ka kb
a₁ b₁

a b
a₁ b₁

понеже

ka kb
а b

= ka.b₁ – kb.a₁ = k(ab₁ –ba₁) =

a₁ b₁
a₁ b₁

Ако елементите на един ред или стълб са суми от по две събераеми, то детерминантата е равна на сумата от две детерминанти, като на мястото на сумата остава по едно събераемо, а другите елементи са общи

Пример:

а' + а" b' + b"
а₁ b₁

а' b'
а₁ b₁

а" b"
а₁ b₁

Доказателство

а' + а" b' + b"
а₁ b₁

(а' + а").b₁ – (b' + b").a₁ = a'b₁ – b'a₁ +
a"b₁ – b"a₁ =

а' b'
а₁ b₁

а" b"
а₁ b₁

Ако към елементите на един ред или стълб прибавим елементите на другия ред или стълб, умножени с произволно число, то детерминантата не изменя стойноста си

Решаване на система от 2 линейни уравнения с две неизвестни с помоща на детерминанти

Общият вид на една такава система е
| ах + by = c
| a₁x + b₁y = c₁
За да решим тази система, умножаваме двете страни на първото уравнение с b₁, а второто с b, събираме почленно така получените нови уравнения и намираме
(ab₁ – a₁b)x + 0.y = b₁.c – bc₁
Също така, като умножим първото уравнение с а₁, а второто с –а, след полученото събиране получаваме
0.х + (а₁b – ab₁)y = a₁c – ac₁
Множителят a₁b – ab₁ не ни интерисува. При условие, че а₁b – ab₁ + 0 решението х, у на дадената система е
х = (b₁c – bc₁)/(ab₁ – a₁b) y = (a₁c – ac₁)/(a₁b – ab₁) = (ac₁ – a₁c)/(ab₁ – a₁b)
Пример: С помощта на детерминанти да се реши системата
|2х + 3у = 4
|2х – 2у = 1
Решение: Детерминантата на системата е

2 3
2 -2

= 2.(-2) – 3.2 = -10

Другите две детерминанти, отговарящи на х и у, се получават, като заместим съответно елементите на първия и втория стълб в тази детерминанта със свободните членове:

4 3
1 -2

= 4.(-2) – 3.1 = -11

2 4
2 1

= 2.1 – 4.2 = - 6

Така решението на системата е

x =

4 3
1 -2

2 3
2 -2

= -11 : -10 = 1,1

y =

2 4
2 1

2 3
2 -2