Формули за първата производна на фунцкия
y е функция y = y(x)
C = const, производната(y') на константа е 0
y = C => y' = 0
пример: y = 5, y' = 0
Ако y е функция от типа y = xn, първата производна се
намира по формулата:
y = xn => y' = nxn-1
пример: y = x3 y' = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y' = -3x-4
От формулата по-горе може да направим извода за производната y' на y = x = x1
y = x => y'=1
y = f1(x) + f2(x) + f3(x) ...=>
y' = f'1(x) + f'2(x) + f'3(x) ...
Тази формула ни дава първата производна на функция, която е сбор от функции.
пример: Ако са дадени две функции f(x) = x2 + x + 1 и
g(x) = x5 + 7, и y = f(x) + g(x), y' = f'(x) + g'(x) =>
y' = (x2 + x + 1)' + (x5 + 7)' = 2x1 + 1 + 0 + 5x4 + 0 = 5x4 + 2x + 1
Ако функция е произведение на две функции производната и се намира със следната формула:
y = f(x).g(x) => y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
If f(x) = C(C е константа), и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y'=C'.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)
y = Cf(x) => y' = C.f'(x)
За следващите формули има примери по-надолу
y = ln x => y' = 1/x
y = ex => y' = ex
y = sin x => y' = cos x
y = cos x => y' = -sin x
y = tan x => y' = 1/cos2x
y = cot x => y' = -1/sin2x
Ако функция е функция от функция: u = u(x)
y = f(u) => y' = f'(u).u'
пример: нека y = sin(x2)
тогава u = x2, f(u) = sin(u), производните са f'(u) = cos(u), u' = 2x
y' = (sin(u))'.u' = cos(x2).2x = 2.x.cos(x2)
Задачи за производни на функции
1) f(x) = 10x + 4y. Намерете производната и f'(x) = ?
Отговор: Ще използваме формулата за производна на функция, която е сбор от функции.
f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y
За функциятя f1(x) = 4y, 4y e константа защото функцията зависи от х(x-аргумент) не от y,
така че (4y)' = 0. Производната на f(x) е: f'(x) = 10 + 0 = 10.
| 2) Calculate the derivative of f(x) = |
|
Отговор:
нека h(x) = x10 и g(x) = 4.15 + cos x
функцията f(x) е h(x) разделена на g(x), а производните им са съответно:
h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 - sin x = -sin x
| f'(x) = |
| h'(x).g(x) - h(x).g'(x) |
| (g(x))2 |
|
| f'(x) = |
| 10x9(4.15 + cos x) - x10(-sin x) |
| (4.15 + cosx)2 |
|
= |
| x10sin x + 10(60 + cos x)x9 |
| (60 + cosx)2 |
|
3) f(x) = ln(sinx). Каква е производната на функцията f(x)?
Отговор: За да решим задачата ще използваме последната формула.
Както се забелязва f(x) е функция от функция
f(x) = h(g(x)), където h = ln, и g = sin x
| f'(x) = |
|
g'(x) |
= |
|
(-cos x) |
= |
- |
|
Линкове от форума за производни
форум за производни
Задачи 1 клас
Мерки
